Topologische Strings: Warum wird die komplexe Struktur für T2T2T^2 in der Stringtheorie als ττ\tau bezeichnet?

Ich werde versuchen, mit sehr wenig Hintergrund zur Stringtheorie zu antworten - da sich Ihre Fragen eher an diesem Grundfall als an der Theorie im Allgemeinen zu orientieren scheinen.

1. Zunächst eine Korrektur. Auf Seite 7 dieses Artikels wird definiert$A=iR_1R_2$, nicht$R_1/R_2$. Da der Torus also flach ist,$A$Ist$i$mal den üblichen Bereich$R_1R_2$.

2. Wie Sie sagen, ist eine komplexe Struktur eine Landkarte$J$so dass$J^2=-1$. Es kommt vom Denken an die komplexe Struktur auf$\mathbb{C}$, Wo$iz=i(x+iy)=-y+ix$, also vertauscht es die Rollen der beiden Koordinaten. Wenn der Torus ein rechteckiger Bereich von ist$\mathbb{C}$Wenn die gegenüberliegenden Seiten identifiziert sind, ist die komplexe Struktur eine "Rotation + Flip" und ändert das Erscheinungsbild des Rechtecks. Seit$\tau$das Verhältnis der beiden Seiten des Rechtecks ​​ist, sagt es uns etwas über die Form des Torus [etwas Klarheit weiter unten].

3. Der Torus ist eine CY-Mannigfaltigkeit in 1 Dimension, also die Symmetrie$A\leftrightarrow\tau$ist eine Abbildung zwischen zwei CY-Mannigfaltigkeiten. Er setzt dies mit T-Dualität gleich$A\leftrightarrow 1/A$, die eng mit der Spiegelsymmetrie verwandt ist.

4. Nun, um es klarzustellen, wir sprechen über die Torus-Metriken , die vollständig durch spezifiziert sind$R_1$Und$R_2$. (Dies ist nicht dasselbe wie „der Modulraum von$\mathbb{T}^2$" weil das je nach Kontext mehr oder weniger Struktur bedeuten würde. Für einen Topologen ist der Modulraum von Tori 0-dimensional, da es nur eine 2d-topologische Fläche mit Genus 1 gibt). Das bedeutet nur$A$würde es nicht schneiden - es würde Paare geben$(R_1,R_2)$mit dem gleichen$A$aber unterschiedliche Größen. Wenn Sie einschließen$\tau$(linear unabhängig von$A$), dann können Sie diese Entartung brechen. Der Modulraum wird also entweder durch das Paar parametrisiert$(R_1,R_2)$oder$(A,\tau)$. (Er sagt, dass Sie für allgemeinere Tori Realteile berücksichtigen müssen$A$Und$\tau$, also wäre der Modulraum größer).

[Einige Klarheit] Falls das nicht klar war - betrachten Sie die komplexe Struktur von$\mathbb{C}$, die imaginäre Einheit$i$. Es ist Aktion an den Rändern

$(R_1,R_2)\rightarrow (-R_2,R_1)$

Also was passiert mit$A$Und$\tau$unter dieser Karte?

So$A$sagt uns nichts über die komplexe Struktur, denn unter dieser Karte bekommen wir einfach$A\rightarrow -A$. Jedoch,$\tau\rightarrow -1/\tau$, So$\tau$sagt "wie breit" und "wie lang" der Torus ist (zumindest das Verhältnis dieser), was die komplexe Struktur ist.

Ich kenne die Stringtheorie nicht, aber ich kenne komplexe Strukturen auf 2-Tori, die auch als komplexe elliptische Kurven bekannt sind . Die meisten Ihrer Fragen wurden von Levitopher beantwortet, ich werde diesen Teil nur ein wenig näher erläutern. Der Raum aller komplexen Strukturen auf einem topologischen Torus wird als Modulraum elliptischer Kurven bezeichnet. Das bedeutet, dass Punkte dieses Raums genau Isomorphismusklassen von elliptischen Kurven entsprechen, wobei zwei elliptische Kurven isomorph sind, wenn zwischen ihnen eine biholomorphe Abbildung existiert (typischerweise wird ein Punkt herausgegriffen, der von der Abbildung respektiert werden muss, aber das ist nicht der Fall wichtig).

Man kann zeigen, dass sich jede komplexe Struktur auf einem Torus als Quotient der komplexen Ebene modulo eines Gitters ergibt, also einer diskreten Untergruppe vom Rang zwei der Ebene, die durch Translation wirkt: man rollt die Ebene in zwei unabhängige Richtungen auf. Ein Isomorphismus ist eine Multiplikation mit einer komplexen Zahl, die eine Bijektion auf diesen Gittern induziert.

Nun lass$R_1,R_2$Seien zwei Generatoren Ihres Gitters, also zwei komplexe Zahlen. Ich nehme an, dass die Autoren im ersten Teil des Beispiels an zwei senkrechte Generatoren denken$R_1$Und$iR_2$. Im Allgemeinen ändert die Multiplikation mit einer (von Null verschiedenen) komplexen Zahl nicht die Isomorphismusklasse des entsprechenden komplexen Torus, sodass wir sie verwenden, um einen der Generatoren auf 1 zu skalieren, und wir erhalten ein Gitter, das von erzeugt wird$1, R_2/R_1$. Herkömmlicherweise wird diese Skalierung so durchgeführt, dass$\tau$hat einen positiven Imaginärteil. Das Verhältnis$R_2/R_1$wird oft bezeichnet$\tau$.

Jetzt haben zwei komplexe Tori das gleiche$\tau$haben äquivalente komplexe Strukturen, aber die Umkehrung gilt noch nicht ganz. Ich denke, was wir jetzt haben, ist der Teichmüller-Raum , der selbst einfach ist wie ein Raum, nämlich die komplexe obere Halbebene, dessen Moduli-Interpretation jedoch technischer ist, nämlich von komplexen Strukturen auf dem Torus bis zu nur einigen komplexen Isomorphismen (nämlich den Isotop zur Identität). Um zum tatsächlichen Modulraum komplexer Strukturen zu gelangen, müssen Sie äquivalente Gitter ausklammern: z$1, \tau + 1$erzeugt das gleiche Gitter, und$\tau + 1$entspricht der gleichen komplexen Struktur wie$\tau$. Dies ist im Wesentlichen eine Änderung der Basis, und alle Basen werden durch Anwenden von Elementen von erhalten$SL_2(\Bbb Z)$zu einem bestimmten Satz von Generatoren. Beachten Sie, dass dies direkt in eine Aktion übersetzt wird$\tau$durch Möbius-Transformationen :

Der Quotient der komplexen oberen Halbebene (mit Koordinate$\tau$) unter der Wirkung von$SL_2(\Bbb Z)$ist genau der Modulraum komplexer Strukturen auf einem topologischen Torus.