Skalares Feldtransformationsverhalten von N=4 SYM nach einer topologischen Verdrehung

Question

Skalares Feldtransformationsverhalten von N=4 SYM nach einer topologischen Verdrehung

Physik
Stringtheorie
Supersymmetrie
Forschungsniveau
Differentialgeometrie
Topologische-Feld-Theorie

Moe

Warum wandeln sich Skalare nach einer topologischen Drehung in 2-Formen um?

Ich schaue mir gerade dieses Papier an https://arxiv.org/abs/1403.2530 . Dort analysieren sie eine topologische Wendung der N=4-SYM-Theorie auf Kähler 2-fach.

Nach einer topologischen Wendung mit dem $\mathcal{R}$ -Symmetrie sowie eine zusätzliche $U(1)$ Symmetrie in a $N=4$ SYM, die 6 reellen Skalare des Multipletts werden unter der verdrehten Holonomiegruppe neu organisiert:

G = S U (2)_{L} \times U (1)_{J^{'}}

$G = SU(2)_L \times U(1)_{J'}$ mit

U (1)_{J^{'}} \subset S U (2)_{R}

$U(1)_{J'} \subset SU(2)_R$ . Der wichtige Teil ist nun, dass die 6 Skalare so reorganisiert werden können, dass sie zwei komplexe Felder umfassen:

(1)_{2} \oplus (1)_{- 2}

$(\boldsymbol{1})_2 \oplus (\boldsymbol{1})_{-2}$ Es wird nun angegeben, dass diese beiden Felder mit einer (2,0)- und einer (0,2)-Form identifiziert werden können. Meine Frage ist, wie kann diese Identifizierung genau erreicht werden?

Es ist natürlich offensichtlich, dass nach dem Verdrehen und Erhalten von Ladung unter der $U(1)_{J'} \subset U(2)$ der Holonomie-Gruppe können diese Felder nicht mehr einfach als Skalare transformiert werden, aber wie kann ich daraus schließen $U(1)$ Gebühr auf das genaue Transformationsverhalten ?

Dies hängt wahrscheinlich mit einer anderen Frage von mir zusammen, in einer anderen Arbeit zu diesem Thema wird festgestellt, dass die Spinoren in diesen Theorien als Abschnitte von verstanden werden könnten $\boldsymbol{S}^{\pm} \otimes K^{1/2}$ mit $\boldsymbol{S}^{\pm}$ bezeichnet das Spinbündel und $K^{1/2}$ die Quadratwurzel des kanonischen Bündels der Basismannigfaltigkeit und das durch Verdrehen mit der $\mathcal{R}$ -Symmetrie drehen wir diese verdrehten Differentialformen einfach auf, aber ich verstehe nicht, warum Spinoren nicht nur Abschnitte des Spinbündels sind.

Eine Antwort nur auf die erste Frage würde völlig ausreichen, wollte nur meine Verwirrung hier etwas weiter beleuchten.

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Skalares Feldtransformationsverhalten von N=4 SYM nach einer topologischen Verdrehung

Moe · Answer 1

Die Antwort wird also in gewisser Weise durch die explizite Dimensionalität d = 4 dieser Einstellung verdeckt. Die Skalare transformieren definitionsgemäß als Singulett der U(2)-Holonomie vor dem Twist, dh die Skalare sind Elemente von $\Omega^0(M)$ und sind auch unbelastet unter $U(1)_J$ , Die $U(1)$ Teil der Holonomie-Gruppe.

Aber die sechs Skalare in der $N=4$ SYM-Theorie werden durch die ineinander rotiert $SU(4) \simeq SO(6)$ und einen Vektor von SO(6) bilden. Nun, für die topologische Wendung teilen wir uns auf

S Ö (6) \to S U (2)_{A} \times S U (2)_{B} \times U (1)_{R}

$SO(6) \rightarrow SU(2)_A \times SU(2)_B \times U(1)_\mathcal{R}$ unter dem sich die Skalarfelder in vier reelle Skalarfelder zerlegen, die sich als a transformieren

(2, 2)

$(\boldsymbol{2}, \boldsymbol{2})$ unter

S U (2)_{A} \times S U (2)_{B}

$SU(2)_A \times SU(2)_B$ und ein Paar komplexer Skalare, die unter geladen sind

U (1)_{R}

$U(1)_\mathcal{R}$ . Dies sind nur die in meiner Frage erwähnten Skalare,

(1)_{0, 1} \oplus (1)_{0, - 1} unter S U (2) \times U (1)_{J} \times U (1)_{R} .

$(\boldsymbol{1})_{0,1} \oplus (\boldsymbol{1})_{0,-1} \text{ under } SU(2) \times U(1)_J \times U(1)_\mathcal{R}.$ Obenstehendes

S U (2)

$SU(2)$ ist von der

U (2)

$U(2)$ Holonomie. Natürlich sind sie beide immer noch "Skalare" aus der Raumzeit-Perspektive.

Jetzt drehen wir die $U(1)_J$ der Holonomiegruppe via

J^{'} = J + 2 R

$J'= J + 2\mathcal{R}$ und die zuvor ungeladenen (unter der Holonomie-Gruppe) Zustände transformieren sich jetzt als

(1)_{2} \oplus (1)_{- 2}

$(\boldsymbol{1})_{2} \oplus (\boldsymbol{1})_{-2}$ unter

S U (2) \times U (1)_{J^{'}}

$SU(2) \times U(1)_{J'}$ . Aber diese Darstellung ist genau die gleiche Darstellung einer 2-Form auf einer Kähler 2-fach! Es ist ein Unterhemd unter der

S U (2)

$SU(2)$ da ist es eine topform auf die 2-fach, also ein element von

Ω^{2, 0}

$\Omega^{2,0}$ oder

Ω^{0, 2}

$\Omega^{0,2}$ aber die Ladung von 2 unter dem U(1) zeigt an, dass es ein Element der 2. äußeren Macht ist

Λ^{2} T^{*} M

$\Lambda^2 T^*M$ und nicht nur eine Funktion.

Es wird deutlicher, wenn Sie sich einen Spinor nach der Drehung ansehen. Vor der Drehung verwandelt sich ein rechtshändiger Spinor in einen $(\boldsymbol{2,1})$ unter dem $Spin(4) \simeq SU(2) \times SU(2)_J$ was sicher keine 1-Form ist. Nach der Drehung zerfallen sie und wir erhalten einen Spinor in der Darstellung

(2)_{1} von S U (2) \times U (1)_{J^{'}} \subset U (2)

$(\boldsymbol{2})_{1} \text{ of } SU(2) \times U(1)_{J'} \subset U(2)$ das ist genau die Zerlegung eines Elements im Vektor rep. von

U (2)

$U(2)$ in der gegebenen Verzweigung ist der Spinor also eine Einsform oder ein Element von

Λ^{1} T^{*} M

$\Lambda^1 T^*M$ nach der Drehung.

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