Was passiert, wenn die Holonomiegruppe in SU(2)SU(2)SU(2) für ein CY 3-fach liegt?

Lassen Sie mich auf Ryans korrekte Kommentare eingehen.

Der flache Hintergrund macht alle Komponenten der Spinoren kovariant konstant; die Geometrie ist also mit allen SUSY kompatibel.

Eine generische gekrümmte 6-realdimensionale Mannigfaltigkeit hat ein$O(6)$Holonomie bzw$SO(6)\sim SU(4)$wenn es orientierbar ist. Der$SU(3)$Die Untergruppe behält 1/4 der ursprünglichen Aufladung bei – es ist die einzige Aufladung unter ihnen$4$In$SU(4)$das gehört nicht dazu$3$von$SU(3)$und daher "nicht am Mischen teilnehmen", was die kovariante Konstanz zerstört. Wenn die Holonomie ist$SU(2)$, dann bleiben 2/4 der ursprünglichen Spinorkomponenten dh 1/2 der Supersymmetrie erhalten.

In Wirklichkeit ist die$SU(3)$Holonomie-Mannigfaltigkeiten sind die üblichen generischen Calabi-Yau-Dreifaltungen. Ab 16 Supercharges dh$N=4$der heterotischen Stringtheorie zum Beispiel erzeugen sie das Realistische$N=1$. Jedoch,$SU(2)$Holonomie würde produzieren$N=2$in vier Dimensionen, was zu viel ist.$N=2$SUSY ist zu groß für realistische Modelle – zumindest für Quarks und Leptonen – weil es zu große Multipletts, Links-Rechts-Symmetrie der Raumzeit (keine Chiralität) und andere starke Beschränkungen des Spektrums und der Stärke verschiedener Wechselwirkungen garantiert, die nicht zustimmen würden Beobachtungen.

Die Verteiler mit der$SU(2)$Holonomie sind so ziemlich nur Calabi-Yaus der Form$K3\times T^2$und vielleicht einige Orbifolds dieser Mannigfaltigkeit. So bleiben zwei der sechs Dimensionen flach und von den anderen, gekrümmten vier entkoppelt.

Angenommen, wir haben einen Supercharge$Q$In$\mathbb{R}^{10}$. Um dies in einen Supercharge auf der umzuwandeln$\mathbb{R}^4$effektive Theorie durch Verdichtung auf erhalten$X$, wir müssen einen Vertrag abschließen$Q$mit kovariant konstantem Spinor an$X$. Der Grund, warum wir wollen, dass es kovariant konstant ist, ist, weil wir die Größe von nehmen wollen$X$bis Null.

Kovariante konstante Spinoren erhält man, indem man einen Spinor an einem Punkt nimmt und ihn parallel über die ganze Mannigfaltigkeit transportiert. Wir erhalten einen wohldefinierten globalen Spinor genau dann, wenn der Spinor, mit dem wir begonnen haben, unter der Wirkung der Holonomiegruppe invariant war. Daher erhalten wir mehr davon, wenn die Holonomie-Darstellung von$X$ist eingeschränkt. Das Einfachste, was es sein kann (trivial), tritt auf, wenn$X$ist ein flacher Torus, und wir werden eine unterschiedliche Anzahl von Aufladungen erhalten, die daraus entstehen$Q$wenn die Holonomie von$X$Ist$SU(2)$oder$SU(3)$.

Es gibt hier eine schöne Reihe von Vorlesungsnotizen, die über die Beziehung zwischen spezieller Holonomie und kovariant konstanten Spinoren sprechen: http://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/Spin/Lecture8.pdf .