Stringtheoretische Bedeutung der erweiterten CFT

Extended TQFT und CFT haben mich schon seit einiger Zeit verwirrt. Während ich die mathematische Motivation dahinter verstehe, verstehe ich die physikalische Bedeutung nicht ganz. Insbesondere ist mir nicht klar, inwieweit diese Konstruktionen mehr Informationen liefern (dh mehrere "erweiterte" Versionen derselben "nicht erweiterten" Theorie zulassen) oder die "erlaubten" Theorien einschränken (indem sie Theorien ausschließen, die dies nicht können erweitert).

Die nervtötendste Frage ist jedoch im Zusammenhang mit der Stringtheorie. In der Stringtheorie sollen wir den Modulraum aller SCFTs betrachten, genauer gesagt brauchen wir für Typ II alle SCFTs mit zentraler Ladung 10, für Typ I brauchen wir BSCFTs mit bestimmten Eigenschaften usw. Die Frage ist,

Welche Bedeutung haben erweiterte SCFTs in diesem Zusammenhang?

Gibt es einen Grund dafür, dass wir wirklich den Modulraum erweiterter Theorien brauchen? Spielen eher "erweiterbare" Theorien innerhalb des größeren Modulraums eine besondere Rolle?

Ich bin mir nicht sicher, was Sie in diesem Zusammenhang mit erweitert meinen. Können Sie das erläutern oder eine Referenz angeben?
@Moshe Extended TQFT wird in ncatlab.org/nlab/show/extended+topological+quantum+field+theory erklärt und Extended CFT soll analog sein

Antworten (3)

Man sollte beachten, dass die erweiterte CFT noch nicht vollständig formalisiert wurde. (" TCFT " ist nur oberflächlich konform, tatsächlich axiomatisiert es topologische Zeichenfolgen. Auch die Moore-Segal-Diskussion dreht sich um 2d TFT, soweit mir bekannt ist.)

Obwohl noch nicht vollständig formalisiert, gibt es einige Ergebnisse, die bereits sehr nahe kommen. Für rationale 2d-CFT gehen die FRS-Formalimen und ihre verwandten Konstruktionen wahrscheinlich am weitesten: Sie liefern Konstruktionen von offen-geschlossenen rationalen CFTs in Bezug auf "Zustandssummenkonstruktionen", die vollständig analog zu denen für erweiterte 2d-TFTs sind, insbesondere vollständig analog zu Fukuma -Hosono-Kawai- Konstruktion. In beiden Fällen wird dem Intervall eine Algebra offener String-Zustände zugeordnet, aus der der Rest der Struktur induziert wird. Der entscheidende Unterschied besteht darin, dass diese Algebra für TFT eine gewöhnliche Algebra ist (wenn auch EIN ∞ ), während es sich bei CFT in der FRS-Formulierung um ein algebraisches Objekt innerhalb der modularen Tensorkategorie von Darstellungen der Vertexoperatoralgebra handelt, das die lokal zu beschreibende CFT beschreibt.

Daraus lässt sich folgende Verwendung der erweiterten CFT für die Stringtheorie ablesen:

  1. die Verfeinerung des VOA zu einem „full CFT“ im Sinne einer vollständigen Darstellung der konformen Kobordismus-1-Kategorie ist genau eine Lösung für die Nähbeschränkungen . Dies betrifft die modulare Invarianz, aber auch alle ihre Analoga höherer Gattungen. Dies ist bereits ein Schritt, der in der Physikliteratur nicht immer richtig ausgeführt wird. In den FRS-Artikeln finden Sie Beispiele für "modular invariante CFTs", denen eine, keine oder mehrere vollständige CFTs entsprechen.

  2. die weitere Verfeinerung zu einer erweiterten konformen Kobordismus -Darstellung (sofern sie formalisiert wurde) sorgt dafür, dass auch alle möglichen Randbedingungen und somit alle möglichen D-Branen-Konfigurationen berücksichtigt werden.

Eine moderne (Über-)Betrachtung des Standes der Technik solcher "erweiterter" 2d-CFT ist in

Liang Kong, Konforme Feldtheorie und eine neue Geometrie .

Verwandte Aspekte sind in

Stephan Stolz, Peter Teichner, Supersymmetrische Feldtheorien und verallgemeinerte Kohomologie

Dort wird die nicht-topologische QFT explizit als Kobordismus-Darstellung betrachtet, wenn auch noch nicht vollständig erweitert.

Strukturen, von denen erwartet wird, dass sie schließlich als Zutaten für eine vollständig erweiterte CFT dienen, wurden in diskutiert

Chris Douglas, André Henriques, Topologische Modulformen und konforme Netze .

Sie diskutieren eine 3-Kategorie von konformen Daten, so dass die 3D-erweiterte TQFT, die durch vollständig dualisierbare Objekte darin induziert wird, holographisch dual zu der gegebenen 2D-CFT ist.

André hat vor Kurzem Vorträge über die Geschichte gehalten, wie man die erweiterte CFT aus diesen Daten expliziter erhalten kann. Sehen Sie sich das Video seines Vortrags beim jüngsten Workshop zu den mathematischen Grundlagen der Quantenfeldtheorie an .

Thx Urs! Ich bin aber immer noch verwirrt. Ihr Punkt 1 oben legt nahe, dass erweiterte CFT unabhängig von der Einführung offener Saiten / D-Branes relevant sind. Ist dies der Fall? Schlagen Sie vor, dass "Erweitertheit" für die vollständige Formalisierung von "regulärer", dh geschlossener CFT erforderlich ist? Auch Ihre Bemerkung zur modularen Invarianz für höhere Gattungen ist sehr interessant. Ich glaube, es widerspricht Motls Antwort auf meine Frage
Hallo Squark, ja, in diesen erweiterten Bildern entsteht der geschlossene Sektor typischerweise aus dem offenen Sektor, der grundlegender ist. Sie werden dies in dem von mir erwähnten Artikel von Kong verstärkt sehen. Sie ist in der Arbeit von Fuchs-Runkel-Schweigert (FRS) sehr detailliert ausgearbeitet. Siehe insbesondere ihren Artikel "Einzigartigkeit von offenen/geschlossenen rationalen CFT mit gegebener Algebra offener Zustände" projecteuclid.org/…
Hallo Squark, probieren Sie diese knackige Zusammenfassung (3 Seiten) von FRS aus: mth.kcl.ac.uk/staff/i_runkel/PDF/ost.pdf Ich nehme an, dass dies mehrere der hier angesprochenen Punkte anspricht, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Ergebnisse das sind sie beziehen sich auf eine Zustandssummenkonstruktion wie bei erweiterten TFTs, aber innerhalb der gegebenen modularen Tensorkategorie von VOA-Darstellungen.
Beispiele für modulare Invarianten, die keiner vollständigen CFT entsprechen, sind auf Seite 3 von arxiv.org/abs/hep-th/0204148 aufgelistet .

Erstens gibt es zwei Arten von erweiterten TFTs: offen-geschlossene TFTs (wie in den Veröffentlichungen von Moore-Segal und Costello ) und TFTs höherer Kategorie (wie in Luries Veröffentlichung). Diese sind etwas verwandt, aber sie sind nicht gleich. Tatsächlich stammt die Open-Closed-Formulierung aus der Stringtheorie.

Lassen Z C F T ein CFT mit der richtigen zentralen Ladung sein. Dann ist die geschlossene String-Partitionsfunktion ungefähr

Z c l Ö s e d = ∑ g = 0 ∞ g s 2 g − 2 ∫ Σ ∈ M g Z C F T ( Σ ) ,
wo M g ist der Modulraum geschlossener Riemann-Flächen des Geschlechts g .

Open-Closed CFTs kommen zum Einsatz, wenn Sie die Open-String-Partitionsfunktion berechnen möchten, bei der Strings auf einer D-Brane enden Λ (möglicherweise mehrere D-Branes). Die Open-String-Partitionsfunktion ist dann

Z Ö p e n = ∑ g , h g s 2 g − 2 + h ∫ Σ ∈ N g , h Z C F T ( Σ , Λ ) ,
wo N g , h ist der Modulraum der Riemannschen Flächen mit h Randkomponenten u Z C F T ist die CFT-Partitionsfunktion eingeschaltet Σ mit Etiketten Λ an jeder Begrenzungskomponente angebracht.

Dies gilt natürlich auch für Einschübe an der Grenze und im Inneren.

Bei Erweiterungen von TFTs kann man sich ein geschlossenes TFT (CFT) immer als ein offen-geschlossenes TFT (CFT) mit einem leeren Satz D-Branes vorstellen. Die Frage ist natürlich, was die möglichen nichttrivialen Kategorien von D-Branen sind. Wenn die geschlossene Algebra einer TFT halbeinfach ist, klassifizierten Moore und Segal mögliche Kategorien von Randbedingungen (die maximale Kategorie von Randbedingungen ist die Kategorie endlich erzeugter Module über der geschlossenen Algebra).

Ist es also eine gute Übersetzung in meine Sprache zu sagen, dass "erweiterte" CFT ein Versuch ist, Grenz-CFTs zu formalisieren und zu klassifizieren, wie sie im Kontext der Stringtheorie verwendet werden?
Ja, offen-geschlossene CFTs sind genau das. Es gibt auch etwas namens "Grenz-CFT" ( arxiv.org/abs/math-ph/0405067 ), bei dem es sich um eine nicht äquivalente Axiomatisierung desselben Objekts unter Verwendung konformer Netze handelt (dh innerhalb des Haag-Kastler-Frameworks).
Danke Pavel, das hilft. Die Frage, die mich jetzt beunruhigt, ist jedoch, was die genaue Beziehung zwischen offen-geschlossener (Grenz-) TFT und höherkategorialer TFT ist. Und was ist die physikalische Bedeutung des späteren, falls vorhanden?
Dazu ein erweitertes 2d TFT Z In der 2-Kategorie der linearen Kategorien bewertet, hat man eine offen-geschlossene TFT, deren Kategorie Randbedingungen ist Z ( p t ) . Physikalisch erscheinen ausgedehnte TFTs (vielleicht mit einer gewissen Struktur auf Kobordismen), wenn man verschiedene Defekte untersucht: zB in d Dimensionen Punktfehler (lokale Operatoren) werden klassifiziert nach Z ( S d − 1 ) , Schleifenoperatoren sind gegeben durch Z ( S d − 2 × S 1 ) (in diesem Fall könnten Sie daran interessiert sein Z ( S d − 2 ) ) usw. Kapustin hat eine nette Diskussion in seinem ICM-Vortrag: arxiv.org/abs/1004.2307 .
Einige gute Beobachtungen zu einer möglichen systematischen Formalisierung der Beziehung zwischen erweiterter QFT und offen-geschlossener QFT/QFT mit Defekten befinden sich gegen Ende der Folien "Topological Defects and Classifying Local Topological Field Theories in Low Dimensions" ncatlab.org/nlab/files /SchommerPriesDefects.pdf von Chris Schommer-Pries. Dort wird ab Folie 65 gezeigt, dass die Angabe einer ("fast natürlichen") Transformation zwischen zwei erweiterten 2d-TQFTs (auf erweiterten Kobordismen als 2-Funktoren betrachtet) darauf hinausläuft, die Daten einer Defektverbindung zwischen den beiden QFTs anzugeben. ...
... Wenn eine der beiden trivial ist, dann ist dies eine Randbedingung für die andere und macht sie zu einer Open/Close-Theorie.

Ich bin mir nicht ganz sicher, was gefragt wird, aber vielleicht helfen einige zufällige Bemerkungen zur topologischen Zeichenfolge.

Es ist tatsächlich einfacher, darüber nachzudenken, die Amplituden der D-Branes und der offenen Saitenbäume zu spezifizieren. In Costellos Formulierung bedeuten die TCFT-Axiome, dass diese Daten eine Art Calabi-Yau A_oo-Kategorie sind. Lurie verallgemeinerte dies und zeigte, dass dies wirklich eine (oo,1)-Kategorie ist. (Ich erinnere mich nicht, ob die Kategorie stabil sein muss - sicherlich sind die meisten Kategorien, auf die man in der Stringtheorie stößt, stabil [was impliziert, dass die Kategorie Homotopie trianguliert ist]).

Interessant ist, dass Sie aus diesen Daten den Raum geschlossener Zeichenfolgenzustände erhalten können. (Sie können die Diagramme dazu in meinem Artikel Deformationen und D-Branes sehen, aber die Idee ist alt.) Mathematisch ausgedrückt ist die zyklische Kohomologie der D-Brane-Kategorie der Raum geschlossener Stringzustände. Es wird vermutet (und in einigen Fällen bewiesen), dass das Analogon der Hodge-de-Rham-Spektralsequenz degeneriert, was fast zu einer Hodge-Struktur führt. Die Angabe einer Teilung sollte ausreichen, um Ihnen alle störenden offenen und geschlossenen Saitenamplituden zu geben. In gewissem Sinne ist die „erweiterte“ TCFT also die perturbative topologische Stringtheorie.

Thx Aaron. Es scheint, dass Sie davon ausgehen, dass Extended TFT / CFT dasselbe ist wie Grenz-TFT / CFT, aber siehe Pavels Antwort und meinen Kommentar dazu
Ich denke, es wäre wirklich hilfreich, wenn Sie Moshes Vorschlag folgend genau formulieren würden, was Sie mit der Frage meinten. Ich vermute, die Antwort wird sein, dass das, wonach Sie suchen, dasselbe ist wie ein störender String-Hintergrund.
Stringtheoretische Bedeutung der erweiterten CFT
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