Frage zum Modulraum einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit

Ich denke, Sie müssen dies im Zusammenhang mit der Intersektionstheorie lesen . Auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension$2n$Wir haben das$n$-te Homologiegruppe, die informell als durch Äquivalenzklassen erzeugt angesehen werden kann$n$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten. Das Schneiden von zwei davon sollte im Allgemeinen einen diskreten Satz von Punkten ergeben. Intuitiv kann man sich das Schnittprodukt als die Anzahl der Punkte im Schnitt vorstellen, aber es ist nicht genau dasselbe wie der mengentheoretische Schnitt.

Um dies konkret zu machen, denken Sie an eine Gattung$g$Riemann-Fläche, die die Dimension 2 hat. Ihre erste Kohomologiegruppe hat Rang$2g$, und als unsere Generatoren$A$Wir können Kurven um die Löcher und Generatoren nehmen$B$sind Kurven, die ein Loch aufschneiden.

$A_i$Und$B_j$genau wann in einem einzigen Punkt schneiden$i = j$, sonst nicht. Der eigentliche Wert ist eine Summe der recht technisch definierten Schnittpunktmultiplizitäten über alle Punkte im Schnittpunkt. Beachten Sie, dass, da wir über Homologieklassen sprechen, nicht einmal die Anzahl der Punkte genau definiert ist. Indem wir einige Punkte mit negativer Multiplizität zählen, können wir immer noch eine eindeutig definierte Zahl erhalten. Betrachten Sie als anschauliches Beispiel diesen dreifachen Schnittpunkt auf einem Torus:

Dieser sollte den gleichen Wert haben wie der Schnittpunkt des großen horizontalen Kreises, der den anderen nur einmal kreuzt und der homolog zu diesem wackeligeren Vertreter ist. Sie sehen, dass sich die Schnittmengen in allen Punkten bis auf einen gegenseitig aufheben.