Äquivariante Kohomologie und Mayer-Vietoris-Sequenz

Ich lese diesen Artikel über topologische Feldtheorie und bin etwas verwirrt darüber, wie er die äquivariante Kohomologie von berechnet S 2 wrt U ( 1 ) , dh H S 1 ∙ ( S 2 ) . Diese finden Sie auf den Seiten 92 - 93. Insbesondere gibt es zwei Punkte:

  1. Mir ist die Bedeutung von Gl. (10.24), dh dem stimme ich zu k th-Kohomologieklasse für k ≥ 2 . Aber ich verstehe nicht, wie man das denn findet k = 1 . Meine Überlegung geht wie folgt. Ich betrachte die genaue Reihenfolge (um umständliche Notation zu vermeiden, werde ich schreiben H ∙ anstatt H S 1 ∙ )
    0 → H 0 ( S 2 ) → H 0 ( U 1 ) ⊕ H 0 ( U 2 ) → H 0 ( U 1 ∩ U 2 ) → H 1 ( S 2 ) → H 1 ( U 1 ) ⊕ H 1 ( U 2 ) → 0.
    Dann, wie oben auf Seite 93 erklärt, H ∙ ( U ich ) = C [ Ω ] , außerdem seit U 1 ∩ U 2 ist ein Verformungsrückzug von S 1 auf welche S 1 handelt frei, so dass H 0 ( U 1 ∩ U 2 ) = C [ Ω ] . Daher bleibe ich bei:
    0 → H 0 ( S 2 ) → C [ Ω ] ⊕ C [ Ω ] → C [ Ω ] → H 1 ( S 2 ) → C [ Ω ] ⊕ C [ Ω ] → 0.
    Nun, ist das richtig? Wie kann ich ableiten H 0 Und H 1 ?
  2. Warum gibt er in (10.25) an F ( 0 ) = G ( 0 ) ? Woher kommt dieser Zustand?

Darüber hinaus versucht er im Folgenden, die gleiche Kohomologie auch mit dem Cartan-Modell zu berechnen. Was mir hier unklar ist, ist, dass er sagt, dass es sich um einen Cohmology-Kurs handelt

H 1 ( Ω ) ( D ϕ D θ + Ω cos ⁡ θ ) + H 2 ( Ω )
aber dies scheint nur eine mögliche gerade Form seit dem Grad von zu sein Ω ist 2 und es gibt eine Zwei-Form im Inneren. Wie funktioniert es?

Kleiner Kommentar zum Beitrag (v1): Bitte verlinken Sie in Zukunft auf Abstract-Seiten statt auf PDF-Dateien, zB arxiv.org/abs/hep-th/9411210
Ich habe Ihre Fragen zur Berechnung der niedrigen Grade der Kohomologie beantwortet. Deine Frage zum Cartan-Modell habe ich eigentlich nicht verstanden, und es ist sowieso eine andere Frage. Ich würde Ihnen raten, es zu entfernen und es separat zu fragen.

Antworten (1)

Du hast die Bedeutung von missverstanden H S 1 ∙ ( U 1 ) = C [ Ω ] . Dies bedeutet nicht H S 1 ich ( U 1 ) = C [ Ω ] ∀ ich bedeutet, dass der Kohomologiering (mit Multiplikation gegeben durch das Becherprodukt ) durch die Polynomalgebra in einem Element gegeben ist, das Grad 2 hat. Rückübersetzt in die einzelnen Grade H ich diese aussage ist

H S 1 ich ( U 1 ) = { C ich  selbst 0 ich  seltsam

Die richtige genaue Reihenfolge in den niedrigen Graden ist

0 → H S 1 0 ( S 2 ) → C ⊕ C → C → H S 1 1 ( S 2 ) → 0
wo jetzt H S 1 0 ( S 2 ) → C ⊕ C ist injektiv und Sie müssen sich davon überzeugen, dass die Karte C ⊕ C → C durch die Beschränkungen verursacht ( U 1 → U 1 ∩ U 2 , U 2 → U 1 ∩ U 2 ) wird von gegeben C ⊕ C → C , ( A , B ) ↦ A − B . Dies ist am einfachsten in der deRham-Kohomologie zu verstehen, da in der Mayer-Vietoris-Karte immer der Unterschied der Formen auf der Überlappung liegt. Durch Exaktheit und Injektivität ist der Kern dieser Abbildung H S 1 0 ( S 2 ) , und der Kernel ist { ( A , B ) ∈ C 2 ∣ A = B } ≅ C . Außerdem ist diese Karte surjektiv, also genau genommen H S 1 1 ( S 2 ) = 0 .

Das beantwortet übrigens auch dort die Einschränkung F ( 0 ) = G ( 0 ) im Ausdruck für H S 1 ∙ ( S 2 ) kommt von - F ( 0 ) , G ( 0 ) sind die Null-Grad-Teile der Kohomologie-Ringelemente, und wir haben gerade gezeigt, dass der Null-Grad dies nicht ist H S 1 0 ( U 1 ) ⊕ H S 1 0 ( U 2 ) , sondern nur die Diagonale.

Vielen Dank für Ihre klare Antwort. Ich habe noch einen Zweifel: In diesem Fall ist der Grad einer Form nur durch die Potenz von gegeben Ω ∈ G ∗ , oder auch durch Summieren dazu den Grad der Form in Ω ( M ) ?
@MaPo: Im Cartan-Modell, wo der Komplex " Ω G ( M ) = ( S ( G ∗ ) ⊗ Ω ( M ) ) G ", die eigentliche Benotung erfolgt durch Ω G ( M ) ich = ⨁ 2 J + k = ich ( S J ( G ∗ ) ⊗ Ω ( M ) k ) G , also eine äquivalente Abschlussform ich ist ein k -Form mit J Kräfte hinein G ∗ so dass 2 J + k = ich .
Äquivariante Kohomologie und Mayer-Vietoris-Sequenz
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v