Nebenkostenraum und Transitivität

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage nur wiederhole, also korrigieren Sie mich, wenn ich es bin.

Meine Antwort ist im Grunde, dass jede Rotation in$SO(n+1)$kann als Rotation geschrieben werden, die den Nordpol bewegt$S^n$zu einem neuen Punkt auf$S^n$, und dann eine Drehung um diesen neuen Punkt. Die Drehungen um den neuen Punkt bilden sich einfach aus$SO(n)$, So$S^n$ist, was Sie bekommen, wenn Sie nehmen$SO(n+1)$, und Sie sagen, Sie interessieren sich nur für die Endposition des Nordpols und nicht für die Drehung um diese Endposition.

Betrachten Sie die Aktion von$SO(n+1)$auf der Kugel$S^n$eingebettet in$\mathbb{R}^{n+1}$. Nehmen wir den Nordpol$p \in S^n$und schau dir die Umlaufbahn an$p$unter der Wirkung von$SO(n+1)$. Da die Wirkung transitiv ist, wissen wir, dass die Bahn das Ganze ist$S^n$. In Ihrem Beispiel einer Zwei-Sphäre wird diese Aussage also zum Nordpol$p$kann durch eine Drehung an jeden beliebigen Punkt auf der Zweierkugel gebracht werden.

Betrachten Sie nun den Stabilisator von$p$. Der Stabilisator ist einfach Drehungen, die halten$p$Fest. Dies sind Drehungen in der Hyperebene orthogonal zu$p$. Mit anderen Worten, der Stabilisator von$p$Ist$SO(n)$.

Betrachten Sie nun eine Nebenklasse$rSO(n)$, war$r \in SO(n+1)$. Betrachten Sie die Wirkung der Elemente dieser Menge auf den Nordpol. Da der Nordpol unveränderlich ist unter$SO(n)$, der Satz$rSO(n)p$ist nur der Satz$\{rp\}$. Da die Aktion transitiv ist, wissen wir, dass die Nebenklassen auf abbilden$S^n$. Wenn wir andererseits zwei verschiedene Nebenklassen haben,$r_aSO(n)$Und$r_bSO(n)$, diese Karte zum gleichen Punkt auf$S^n$, Dann$r_ap = r_bp$so dass$r_a^{-1}r_bp=p$und so$r_a^{-1}r_b \in SO(n)$, aber dann$r_aSO(n) = r_ar_a^{-1}r_bSO(n) = er_bSO(n) = r_bSO(n)$, also unterscheiden sich die beiden Nebenklassen doch nicht. Somit gibt es eine Bijektion zwischen Nebenklassen$SO(n+1) / SO(n)$und die Kugel$S^n$.

Sie können sich ein Element von vorstellen$SO(n+1)$eine Sammlung von$(n+1)$geordnete orthonormale Vektoren$(v_1, \ldots, v_{n+1})$. In so einem Fall haben wir das$SO(n)$passt hinein$SO(n+1)$durch die Wahl eines festen Vektors$v \in S^n$, und wählen$n$orthonormale Vektoren im orthogonalen Komplement der aufgespannten Linie$v$.

Es ist dann nicht allzu schwer vorstellbar, dass die Nebenklassen in Bijektion mit der anfänglichen Wahl von sind$v$, dh der Nebenklassenraum ist genau$S^n$.