Unterschied zwischen Algebra unendlich kleiner konformer Transformationen und konformer Algebra

Lassen

$$\begin{align} \overline{\mathbb{R}^{p,q}}~~:=&~~\left\{y\in \mathbb{R}^{p+1,q+1}\backslash\{0\}\mid \eta^{p+1,q+1}(y,y)=0\right\}/\mathbb{R}^{\times} \cr ~~\subseteq &~~ \mathbb{P}_{p+q+1}(\mathbb{R})~~\equiv~~(\mathbb{R}^{p+1,q+1}\backslash\{0\})/\mathbb{R}^{\times}, \cr &\mathbb{R}^{\times}~~\equiv~~\mathbb{R}\backslash\{0\}, \end{align}\tag{1}$$ die konforme Kompaktifizierung von bezeichnen$\mathbb{R}^{p,q}$. Topologisch, $$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}~\cong~(\mathbb{S}^p\times \mathbb{S}^q)/\mathbb{Z}_2 .\tag{2}$$ Die$\mathbb{Z}_2$-Aktion in Gl. (2) identifiziert Punkte, die durch einen gleichzeitigen Antipodentausch auf der räumlichen und der zeitlichen Sphäre zusammenhängen. Die Einbettung$\imath: \mathbb{R}^{p,q}\hookrightarrow \overline{\mathbb{R}^{p,q}}$wird von gegeben $$\imath(x)~:=~\left(1-\eta^{p,q}(x,x): ~2x:~ 1+\eta^{p,q}(x,x)\right). \tag{3}$$ Lassen$n:=p+q$. [Wenn$n=1$, dann ist jede Transformation automatisch eine konforme Transformation , also nehmen wir an$n\geq 2$. Wenn$p=0$oder$q=0$dann die konforme Verdichtung$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}~\cong~\mathbb{S}^n$ist ein$n$-Kugel.]

1. Auf der einen Seite gibt es die (globale) konforme Gruppe

   $${\rm Conf}(p,q)~\cong~O(p\!+\!1,q\!+\!1)/\{\pm {\bf 1} \}\tag{4}$$ bestehend aus der Menge global definierter konformer Transformationen auf$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}$. Das ist ein$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$dimensionale Lie-Gruppe. Die Quotienten in Gl. (2) & (4) sind Überbleibsel aus dem projektiven Raum (1).

   Die verbundene Komponente, die das Identitätselement enthält, ist

   $${\rm Conf}_0(p,q)~\cong~\left\{\begin{array}{ll} SO^+(p\!+\!1,q\!+\!1)/\{\pm {\bf 1} \} &\text{if both $p$ and $q$ are odd},\cr SO^+(p\!+\!1,q\!+\!1) &\text{if $p$ or $q$ are even}.\end{array}\right.\tag{5}$$ Die beiden Fälle in Gl. (5) entsprechen ob$-{\bf 1}\in SO^+(p\!+\!1,q\!+\!1)$bzw. nicht. Die globale konforme Gruppe${\rm Conf}(p,q)$hat 4 verbundene Komponenten, wenn beide$p$und$q$ungerade sind, und 2 Zusammenhangskomponenten wenn$p$oder$q$sind gleich. Die (globale) konforme Algebra $${\rm conf}(p,q)~\cong~so(p\!+\!1,q\!+\!1)\tag{6}$$ ist das entsprechende$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$dimensionale Lie-Algebra. Dimensionsweise zerfällt die Lie-Algebra in$n$Übersetzungen,$\frac{n(n-1)}{2}$Drehungen,$1$Dilatation und$n$spezielle konforme Transformationen.

2. Andererseits gibt es das lokale konforme Gruppoid

   $${\rm LocConf}(p,q)~=~\underbrace{{\rm LocConf}_+(p,q)}_{\text{orientation-preserving}} ~\cup~ \underbrace{{\rm LocConf}_-(p,q)}_{\text{orientation-reversing}} \tag{7}$$ bestehend aus lokal definierten konformen Transformationen. Lassen Sie uns die verbundene Komponente bezeichnen, die das Identitätselement enthält $${\rm LocConf}_0(p,q)~\subseteq~{\rm LocConf}_+(p,q). \tag{8}$$ Das lokale konforme Algebroid $${\rm locconf}(p,q)~=~{\rm LocConfKillVect}(\overline{\mathbb{R}^{p,q}})\tag{9}$$ besteht aus lokal definierten konformen Killing-Vektorfeldern , dh Generatoren konformer Transformationen.

   • Für$n\geq 3$, (die pseudo-riemannsche Verallgemeinerung von) Liouvilles Starrheitssatz besagt, dass alle lokalen konformen Transformationen zu globalen konformen Transformationen erweitert werden können, vgl. zB this & this Phys.SE Beiträge. Daher sind die lokalen konformen Transformationen nur für interessant$n=2$.

   • Für die 1+1D Minkowski-Ebene betrachten wir Lichtkegelkoordinaten$x^{\pm}\in \mathbb{S}$, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Die lokal definierten orientierungserhaltenden konformen Transformationen sind Produkte von 2 monoton ansteigenden (abnehmenden) Diffeomorphismen auf dem Kreis$\mathbb{S}^1$

     $$\begin{align} {\rm LocConf}_+(1,1)~=~& {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1)~\times~ {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1) \cr &~\cup~ {\rm LocDiff}^-(\mathbb{S}^1)~\times~ {\rm LocDiff}^-(\mathbb{S}^1),\cr {\rm LocConf}_0(1,1)~=~& {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1)~\times~ {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1).\end{align}\tag{10}$$ Eine orientierungsumkehrende Transformation ist nur eine orientierungserhaltende Transformation, die mit der Karte zusammengesetzt ist$(x^+,x^-)\mapsto (x^-,x^+)$. Die entsprechende lokale konforme Algebra $${\rm locconf}(1,1)~=~{\rm Vect}(\mathbb{S}^1)\oplus {\rm Vect}(\mathbb{S}^1) \tag{11}$$ wird zu zwei Kopien der reellen Witt-Algebra , die eine unendlichdimensionale Lie-Algebra ist.

   • Für die 2D-Euklidische Ebene$\mathbb{R}^{2}\cong \mathbb{C}$, wenn wir uns identifizieren$z=x+iy$und$\bar{z}=x-iy$, dann sind die lokal definierten orientierungserhaltenden (orientierungsumkehrenden) konformen Transformationen nicht-konstante holomorphe (anti-holomorphe) Abbildungen auf der Riemann-Kugel $\mathbb{S}^2=\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$

     $$\begin{align} {\rm LocConf}_0(2,0)~=~&{\rm LocConf}_+(2,0)\cr ~=~&{\rm LocHol}(\mathbb{S}^2), \cr\cr {\rm LocConf}_-(2,0)~=~&\overline{{\rm LocHol}(\mathbb{S}^2)} ,\end{align}\tag{12}$$ bzw. Eine antiholomorphe Karte ist nur eine holomorphe Karte, die mit komplexer Konjugation zusammengesetzt ist$z\mapsto\bar{z}$. Das entsprechende lokale konforme Algebroid $${\rm locconf}(2,0)~=~{\rm LocHolVect}(\mathbb{S}^2)\tag{13}$$ besteht aus Generatoren von lokal definierten holomorphen (ohne anti-holomorphen!) Karten$\mathbb{S}^2$. Es enthält eine komplexe Witt-Algebra.

Verweise:

1. M. Schottenloher, Math Intro to CFT, Lecture Notes in Physics 759, 2008; Kapitel 1 & 2.

2. R. Blumenhagen und E. Plauschinn, Intro to CFT, Lecture Notes in Physics 779, 2009; Abschnitt 2.1.

3. P. Ginsparg, Applied Conformal Field Theory, arXiv:hep-th/9108028 ; Kapitel 1 & 2.

4. J. Slovak, Natürlicher Operator auf konformen Mannigfaltigkeiten, Habilitationsschrift 1993; S.46. Eine PS-Datei ist hier von der Homepage des Autors verfügbar. (Huttipp: Vit Tucek .)

5. AN Schellekens, CFT-Vortragsunterlagen , 2016.