Invariante Größe von Kommutatoren

Ich lese dieses Papier über konforme Quantenmechanik von De Alfaro, Fubini und Furlan. Dort finden sie die Algebra der Generatoren ( 0 + 1 ) -D konforme Transformationen (Gl. 2.23)

[ H , D ] = ich H , [ K , D ] = − ich K , [ H , K ] = 2 ich D .
Hier H ist der Hamilton-Operator, D ist der Dilatationsgenerator, und K ist der spezielle konforme Operator in ( 0 + 1 ) -D. Auf der nächsten Seite definieren sie einen Operator
G = u H + v D + w K
Wo u , v , w sind Konstanten. Als nächstes sagen sie, dass aus der Kommutatorbeziehung leicht zu erkennen ist, dass die Menge Δ = v 2 − 4 u w ist invariant gegenüber jeder allgemeinen konformen Transformation G → U − 1 G U .

Ich kann überprüfen, ob dies wahr ist, indem ich any verwende U . Aber was ich nicht verstehe, ist, wie man "einfach" feststellen kann, was der Ausdruck ist Δ sollte nur von der Betrachtung der Kommutierungsbeziehungen sein? Wie bekommen sie das Δ ?

Kleiner Kommentar zum Beitrag (v1): Bitte verlinken Sie in Zukunft auf Abstract-Seiten statt auf PDF-Dateien.

Antworten (1)

Vielleicht bemerken de Alfaro et al

[ G , ( D H K ) ] = ich M ( D H K ) , M := ( 0 u − w − 2 w − v 0 2 u 0 v ) .
Seit M ist singulär und spurlos, seine Eigenwerte sind von der Form 0 , ± λ . Wenn wir diagonalisieren, um die zu isolieren 0 Eigenwert, das Produkt der anderen sollte also ein homogenes Quadrat sein λ ist eine Quadratwurzel davon. Und es ist keine Überraschung, wenn man bedenkt, wie quadratische Gleichungen funktionieren λ = v 2 − 4 u w .

Beachten Sie insbesondere, dass wir nicht berechnen müssen M um das zu erkennen, noch um zu erkennen, dass es singulär sein wird ( G ergibt ein offensichtliches Kernelement) oder spurlos (das erfordert nur die "selbstinteragierenden" Kommutatoren [ H , D ] , [ K , D ] entgegengesetzte Koeffizienten haben).

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