Wie ist diese Summe der Kopplungskoeffizienten auszuwerten?

Question

Wie ist diese Summe der Kopplungskoeffizienten auszuwerten?

Physik
Lügen-Algebra
Gruppentheorie
Forschungsniveau
Drehimpuls
Quantenmechanik

okj

Ich möchte folgende Summierung von Clebsch-Gordan und Wigner 6-j Symbolen in geschlossener Form auswerten:

\sum_{l, m} C_{l_{2}, m_{2}, l_{1}, m_{1}}^{l, m} C_{λ_{2}, μ_{2}, λ_{1}, μ_{1}}^{l, m} {\begin{array}{ccc} l & l_{2} & l_{1} \\ n / 2 & n / 2 & n / 2 \end{array}} {\begin{array}{ccc} l & λ_{2} & λ_{1} \\ n / 2 & n / 2 & n / 2 \end{array}}

$\sum_{l,m} C_{l_2,m_2,l_1,m_1}^{l,m} C_{\lambda_2,\mu_2,\lambda_1,\mu_1}^{l,m} \left\{ \begin{array}{ccc} l & l_2 & l_1 \\ n/2 & n/2 & n/2 \end{array}\right\} \left\{ \begin{array}{ccc} l & \lambda_2 & \lambda_1 \\ n/2 & n/2 & n/2 \end{array}\right\}$

mit $n \in \left[0,\infty\right)$ , $l,l_1,l_2,\lambda_1,\lambda_2 \in \left[0,n\right]$ , $m \in \left[-l,l\right]$ , $m_1 \in \left[-l_1,l_1\right]$ , $m_2 \in \left[-l_2,l_2\right]$ , $\mu_1 \in \left[-\lambda_1,\lambda_1\right]$ und $\mu_2 \in \left[-\lambda_2,\lambda_2\right]$ . Alle Indizes sind ganze Zahlen und n muss auch gerade sein.

Ich habe Varshalovich's Book verwendet, kann aber keine Identitäten finden, die nützlich waren, um dies zu vereinfachen. Ich hoffe, dass das Ergebnis so etwas wie $\delta_{l_2,\lambda_2}\delta_{m_2,\mu_2}\delta_{l_1,\lambda_1}\delta_{m_1,\mu_1}$ , aber ich bin mir nicht sicher, ob das der Fall sein wird. Irgendwelche Ideen, wie man das auswerten kann?

Vibert

Ist

n

$n$ irgendeine ganze Zahl?

Michael

Nun, Mathematica hat ClebschGordan- und SixJSymbol-Funktionen, aber ich kann es nicht dazu bringen, Ihren Ausdruck zu vereinfachen. Selbst die Bewertung einfacher Fälle dauert bei mir sehr lange. Vielleicht findet jemand mit mehr Mathematica- und/oder Kombinatorik-Kenntnissen als ich einen Trick.

okj

@Vibert:

n \geq 0

$n \geq 0$ ist eine gerade ganze Zahl,

0 \leq l \leq n

$0 \leq l \leq n$ eine ganze Zahl ist, nehmen alle anderen Indizes ganzzahlige Werte an und ihre Grenzen folgen aus der Definition der CG-Koeffizienten und 6j-Symbole. Tut mir leid, dass ich das nicht vorher gesagt habe.

okj

Speziell:

n \in [0, \infty)

$n \in \left[0,\infty\right)$

l, l_{1}, l_{2}, λ_{1}, λ_{2} \in [0, n]

$l,l_1,l_2,\lambda_1,\lambda_2 \in \left[0,n\right]$

m \in [- l, l]

$m \in \left[-l,l\right]$

m_{1} \in [- l_{1}, l_{1}]

$m_1 \in \left[-l_1,l_1\right]$

m_{2} \in [- l_{2}, l_{2}]

$m_2 \in \left[-l_2,l_2\right]$

μ_{1} \in [- λ_{1}, λ_{1}]

$\mu_1 \in \left[-\lambda_1,\lambda_1\right]$

μ_{2} \in [- λ_{2}, λ_{2}]

$\mu_2 \in \left[-\lambda_2,\lambda_2\right]$ (

n

$n$ eine gerade ganze Zahl ist, alle anderen Indizes sind ganze Zahlen)

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Wie ist diese Summe der Kopplungskoeffizienten auszuwerten?

Nun, Mathematica hat ClebschGordan- und SixJSymbol-Funktionen, aber ich kann es nicht dazu bringen, Ihren Ausdruck zu vereinfachen. Selbst die Bewertung einfacher Fälle dauert bei mir sehr lange. Vielleicht findet jemand mit mehr Mathematica- und/oder Kombinatorik-Kenntnissen als ich einen Trick.
@Vibert: $n \geq 0$ ist eine gerade ganze Zahl, $0 \leq l \leq n$ eine ganze Zahl ist, nehmen alle anderen Indizes ganzzahlige Werte an und ihre Grenzen folgen aus der Definition der CG-Koeffizienten und 6j-Symbole. Tut mir leid, dass ich das nicht vorher gesagt habe.
Speziell: $n \in [0, \infty)$ $n \in \left[0,\infty\right)$ $l, l_{1}, l_{2}, λ_{1}, λ_{2} \in [0, n]$ $l,l_1,l_2,\lambda_1,\lambda_2 \in \left[0,n\right]$ $m \in [- l, l]$ $m \in \left[-l,l\right]$ $m_{1} \in [- l_{1}, l_{1}]$ $m_1 \in \left[-l_1,l_1\right]$ $m_{2} \in [- l_{2}, l_{2}]$ $m_2 \in \left[-l_2,l_2\right]$ $μ_{1} \in [- λ_{1}, λ_{1}]$ $\mu_1 \in \left[-\lambda_1,\lambda_1\right]$ $μ_{2} \in [- λ_{2}, λ_{2}]$ $\mu_2 \in \left[-\lambda_2,\lambda_2\right]$ ( $n$ eine gerade ganze Zahl ist, alle anderen Indizes sind ganze Zahlen)

David Horgan · Answer 1

Nun, das ist ziemlich ähnlich zu den Berechnungen, die ich durchgeführt habe, um die Spektren des quantengeometrischen Volumenoperators in Loop Quantum Gravity zu finden. Da ich nicht glaube, dass Sie in der Lage sein werden, einen geschlossenen analytischen Ausdruck für diese Summation zu finden. Ich wäre ziemlich einfach, eine numerische Routine zu schreiben, um dies zu berechnen.

Hier ist der Link zu den interaktiven mathematischen Routinen von Sage, die ich geschrieben habe, um Operatorspektren zu berechnen. Sie könnten es wahrscheinlich an Ihren Zweck anpassen. Wenn Sie dabei Hilfe benötigen, lassen Sie es mich einfach wissen.

http://wiki.sagemath.org/interact/Loop%20Quantum%20Gravity

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Vibert

Michael

okj

okj

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