Spinoren und Möbiusbänder

Ich habe diese Frage auf Math.SE gestellt, da ich dachte, dass die Perspektive der Repräsentationstheorie aufschlussreich sein könnte.

Aber da die Frage durch eine Beschreibung von Spinors provoziert wurde, die den Spin von Elektronen in Dr. Tongs Notizen beschreiben, wo er beschrieb, dass „man zweimal um ein Elektron herumgehen muss“, damit es an die gleiche Position zurückkehrt; Ich dachte, ich frage hier auch mal.

Betrachten Sie einen Möbius-Streifen; Zeichnen Sie auf einer Seite einen vertikal ausgerichteten Pfeil. jetzt machen Sie einen Ausflug um den Strip herum; wenn es dann in die gleiche Position zurückkehrt, hat es die Richtung umgedreht; Eine weitere Umrundung des Streifens bringt ihn wieder in die richtige Richtung.

Jetzt muss der Spinor zweimal gedreht werden, um ihn wieder in die gleiche Position zu bringen.

Können diese beiden Bilder irgendwie miteinander verbunden werden?

Es gibt auch diesen Platten- und Gürteltrick ; die verbunden sein können oder nicht.

Auf einer orientierbaren Mannigfaltigkeit muss man, um Spinoren zu haben, eine Anhebung des damit verbundenen Hauptbündels finden S Ö ( N ) zum S P ich N ( N ) (dh Spinstruktur). Bei nicht orientierbaren Verteilern liegen die Rahmen jetzt innen Ö ( N ) und das Hebeproblem ist Ö ( N ) Zu P ich N ± ( N ) . Man kann zeigen, dass dies für 2D-Riemann-Flächen kein Hindernis darstellt. Für eine physikerfreundliche Diskussion möchten Sie vielleicht einen Blick auf projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104159727 werfen .
@cheng: Ein Abschnitt eines Hauptbündels, dessen Strukturgruppe Spin (n) ist, ist im Wesentlichen ein Spinorfeld?
Nur können wir keine globalen Abschnitte haben, also sollte ich das als einen lokalen Abschnitt bezeichnen.
Im Wesentlichen ja, obwohl es, wie Sie bereits sagten, keinen Abschnitt gibt. Spin(n)-Bundle sagt Ihnen eigentlich nur, wie Sie die Dirac-Matrizen zusammen mit dem lokalen Framing drehen.
Wie verbindet man Dirac-Matrizen mit Spin(n); Ich stelle es mir einfach als die universelle Abdeckung der Rotationsgruppe SO (n) vor, die zufällig eine doppelte Abdeckung ist; Ist es eine Koordination? Im Sinne von Matrizen Koordination SO(n)?

Antworten (1)

Können diese beiden Bilder irgendwie miteinander verbunden werden?

Ja, deshalb enthält der Wikipedia- Spinor-Artikel ein Bild eines Möbius-Streifens: Geben Sie hier die Bildbeschreibung einGNUFDL-Bild von Slawekb, siehe Wikipedia

Das Möbiusband kommt auch im Gürtelartikel der Mathspages Dirac vor , wo Sie lesen können, dass es "an Spin-1/2-Teilchen in der Quantenmechanik erinnert, da solche Teilchen durch zwei vollständige Umdrehungen gedreht werden müssen, um in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzt zu werden". . Diracs Gürtel ist dein „Gürtel-und-Platten-Trick“.

Vielleicht möchten Sie sich den Einstein-de-Haas-Effekt ansehen, der "zeigt, dass der Drehimpuls des Spins tatsächlich von der gleichen Natur ist wie der Drehimpuls rotierender Körper, wie er in der klassischen Mechanik konzipiert ist" . Lesen Sie auch über Goudsmit und die Entdeckung des Elektronenspins. Der Leiden-Artikel ist gerade offline, aber der Schlüsselsatz lautet: "Es bedeutet, dass das Elektron einen Spin hat, dass es rotiert" . Wenn Sie sich auch eine alte Version des Wikipedia- Stern-Gerlach-Artikels ansehen , können Sie die Nicht-Sequitur erkennen, die ich so umschreiben werde: Das Elektron kann sich nicht wie ein Planet drehen, also kann es sich überhaupt nicht drehen. Nun ja, natürlich dreht es sich nicht wie ein Planet. Es ist ein Spin-½-Teilchen. Es ist ein Bispinor . Es dreht sich um die Hauptachse UND um die Nebenachse. Das UND dient als Multiplikator. Beachten Sie, dass Elektronen in Atomorbitalen "als stehende Wellen existieren" und dass stehende Wellen bewegungslos aussehen, obwohl sie es nicht sind. Wir können Elektronen beugen. Die Wellennatur der Materie steht außer Zweifel. Von was für einer Welle reden wir also? Eine, die sich bei c in einer geraden Linie bewegt? Denke nicht.

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