Tensoroperatoren

Question

Tensoroperatoren

JoshPhysik

Motivation.

Ich habe kürzlich den Abschnitt 3.10 in Sakurais Quantenmechanik durchgesehen, in dem er Tensoroperatoren diskutiert, und ich hatte den Wunsch nach einer mathematisch allgemeineren/präziseren Diskussion. Ich habe dann die Wikipedia-Seite zu Tensoroperatoren überflogen und war ähnlich unzufrieden. Hier ist der Grund

In diesen Diskussionen definiert man im Wesentlichen einen indizierten Satz von Operatoren $T_{i_1\cdots i_k}$ ein "kartesischer" Tensoroperator von Rang zu sein $k$ bereitgestellt

U (R) T_{{ich}_{1} \dots {ich}_{k}} U^{†} (R) = R_{{ich}_{1}}^{j_{1}} \dots R_{{ich}_{1}}^{j_{1}} T_{j_{1} \dots j_{k}}

$U(R)\, T_{i_1\cdots i_k}\, U^\dagger(R) = R_{i_1}^{\phantom{i_1}j_1}\cdots R_{i_1}^{\phantom{i_1}j_1}T_{j_1\cdots j_k}$ für jede Umdrehung

R \in S O (3)

$R\in\mathrm{SO}(3)$ wo

U

$U$ ist eine einheitliche Darstellung von

S O (3)

$\mathrm{SO}(3)$ Einwirken auf einen Hilbert-Raum (normalerweise der eines physikalischen Systems, dessen Verhalten unter Drehungen wir untersuchen). In ähnlicher Weise definiert man einen "sphärischen" Tensoroperator von Rang

n

$n$ als indizierter Satz von Operatoren

T_{q}^{(n)}

$T^{(n)}_{q}$ mit

- n < q, q^{'} < n

$-n<q,q'<n$ wofür

U (R) T_{q}^{(n)} U^{†} (R) = \sum_{q^{'} = - n}^{n} D_{q^{'} q}^{(n)} (R) T_{q^{'}}^{(n)}

$U(R)\,T_q^{(n)}\,U^\dagger(R) = \sum_{q'=-n}^n D_{q'q}^{(n)}(R)T_{q'}^{(n)}$ wo

D^{(n)}

$D^{(n)}$ ist die irreduzible Darstellung von

S O (3)

$\mathrm{SO}(3)$ von Dimension

n

$n$ .

Basierend auf diesen Standarddefinitionen würde ich denken, dass man etwas weniger "koordinatenabhängig" definieren und auf Darstellungen beliebiger Gruppen erweitern könnte, nicht nur $\mathrm{SO}(3)$ , folgendermaßen.

Kandidatendefinition . Lassen Sie eine Gruppe $G$ gegeben werden. Lassen $U$ sei eine einheitliche Darstellung von $G$ auf einem Hilbertraum $\mathcal H$ , und lass $\rho$ eine Darstellung sein von $G$ auf einem endlichdimensionalen, reellen oder komplexen Vektorraum $V$ . EIN $k$ -multilineare, lineare Operatorwertfunktion $T:V^k\to \mathrm{Lin}(\mathcal H)$ heißt Tensoroperator relativ zu dem Paar von Darstellungen $U$ und $\rho$ bereitgestellt
$\begin{aligned} U (g) T (v_{1}, \dots, v_{k}) U (g)^{†} = T (ρ (g) v_{1}, \dots, ρ (g) v_{k}) \end{aligned}$ $\begin{align} U(g) T(v_1, \dots, v_k) U(g)^\dagger = T(\rho(g)v_1, \dots, \rho(g)v_k) \end{align}$ für alle $g\in G$ und für alle $v_1, \dots, v_k\in V$ .

Beachten Sie, dass wenn eine Basis $u_1, \dots, u_N$ zum $V$ gegeben ist, und wenn wir die Komponenten definieren $T_{i_1,\dots i_k}$ von $T$ auf dieser Grundlage von

\begin{aligned} T_{{ich}_{1} \dots {ich}_{k}} = T (u_{{ich}_{1}}, \dots, u_{{ich}_{k}}) \end{aligned}

$\begin{align} T_{i_1 \dots i_k} = T(u_{i_1}, \dots, u_{i_k}) \end{align}$ und wenn

ρ (g)_{i}^{j}

$\rho(g)_i^{\phantom ij}$ bezeichnet die Matrixdarstellung von

ρ (g)

$\rho(g)$ Auf dieser Grundlage kann die definierende Eigenschaft eines Tensoroperators unter Verwendung von Multilinearität wie folgt geschrieben werden

\begin{aligned} U (g) T_{{ich}_{1} \dots {ich}_{k}} U^{†} (g) = ρ (g)_{{ich}_{1}}^{j_{1}} \dots ρ (g)_{{ich}_{k}}^{j_{k}} T_{j_{1} \dots j_{k}} \end{aligned}

$\begin{align} U(g) T_{i_1\cdots i_k} U^\dagger(g) = \rho(g)_{i_1}^{\phantom {i_1}j_1}\cdots \rho(g)_{i_k}^{\phantom {i_k}j_k} T_{j_1\cdots j_k} \end{align}$ Diese Definition reproduziert also sofort die obige Definition des kartesischen Tensors, wenn wir nehmen,

V = R^{3}

$V =\mathbb R^3$ ,

G = S O (3)

$G=\mathrm{SO}(3)$ , und

ρ (R) = R

$\rho(R) = R$ , und ähnlich für die sphärische Tensordefinition, wenn wir nehmen

V = C^{2 n + 1}

$V=\mathbb C^{2n+1}$ ,

G = S O (3)

$G=\mathrm{SO}(3)$ ,

ρ = D^{(n)}

$\rho = D^{(n)}$ und

k = 1

$k=1$ .

Frage.

Ist die Art von Objekt, die ich gerade definiert habe, die "richtige" Formalisierung / Verallgemeinerung des in der Physik verwendeten Begriffs der Tensoroperatoren? es scheint den Begriff des Tensoroperators zu enthalten, der in der physikalischen Literatur verwendet wird? Gibt es Literatur zu der Art von Objekten, die ich hier definiere? Ich würde denken, dass die Antwort ja wäre, da mir so etwas wie eine natürliche Verallgemeinerung erscheint, die ein mathematisch interessierter Physiker gerne studieren möchte.

Trimok

Zum

S U (N)

$SU(N)$ , besteht ein direkter Zusammenhang mit Fundamentaldarstellungen und antisymmetrischen Tensoren. Dasselbe für

S O (N)

$SO(N)$ , (ohne Berücksichtigung von spinoralen Darstellungen). (Beachten Sie, dass es dank des Levi-Civita-Symbols eine Dualität zwischen diesen Darstellungen gibt.) Für

S P (N)

$SP(N)$ , gibt es einen direkten Zusammenhang mit Fundamentaldarstellungen und symmetrischen Tensoren. Natürlich können Sie, über alle Darstellungen hinweg, Korrespondenzen mit anderen Tensoren gewinnen. Beispielsweise repräsentiert die adjungierte Darstellung einen gemischten Tensor

T_{j}^{i}

$T^i_j$ . Für SU(N) Darstellung

(20....)

$(20....)$ stellt einen symmetrischen spurlosen Tensor dar.

JoshPhysik

@Trimok Danke für den Kommentar, aber dies soll keine Frage zu Tensordarstellungen von Gruppen sein, sondern eine Frage zum Begriff eines "Tensoroperators" in einem Hilbert-Raum, seiner Formalisierung und der Existenz vorhandener mathematischer Literatur auf solche Sachen.

Peter Krawtschuk

Ich möchte nur anmerken, dass Ihre Definition möglicherweise etwas zu hoch ist. In dem Sinne, dass Sie tatsächlich Folgendes tun: Sie wählen eine Repräsentation aus

ρ

$\rho$ , dann "tensoren" Sie es zur Darstellung

τ

$\tau$ wirkt auf Tensoren und definiert dann ein Objekt, das zugeordnet ist

τ

$\tau$ statt

ρ

$\rho$ . Du könntest auch damit anfangen

τ

$\tau$ . Es scheint mir auch sinnvoll, an „lineare objektwertige Operatoren“ zu denken, die Elemente von

H o m (H, L \otimes H) = L \otimes H o m (H, H)

$\mathrm{Hom}(\mathcal{H},L\otimes\mathcal{H})=L\otimes\mathrm{Hom}(\mathcal{H},\mathcal{H})$ , wo

L

$L$ ist ein Vektorraum, auf den eine Darstellung einwirkt

τ

$\tau$ .

Trimok

Zweite Chance .... Ist es aber nicht

ρ (g)

$\rho(g)$ immer (falls vorhanden) die fundamentale (vektorielle) Darstellung der Gruppe

G

$G$ ?. Ich verstehe Ihren Vorschlag mit einer anderen Darstellung nicht, während ich wahrscheinlich einen Punkt übersehen habe....

JoshPhysik

@Trimok Würden Sie zustimmen, dass wir einen Tensoroperator so definieren können, wie ich es getan habe ? Wenn ja, dann ist es einfach eine Verallgemeinerung, in der

ρ

$\rho$ ist nicht darauf beschränkt, irgendeine Darstellung von zu sein

G

$G$ . Das ist eigentlich der Punkt der Definition, die ich hier zu machen versuche. Ich denke, diese Verallgemeinerung ist wichtig, weil wir zum Beispiel in der QFT geneigt sein könnten, Objekte zu betrachten, deren Indizes sich in andere Darstellungen als eine Vektordarstellung transformieren.

Antworten (7)

Tensoroperatoren

Zum $SU(N)$ , besteht ein direkter Zusammenhang mit Fundamentaldarstellungen und antisymmetrischen Tensoren. Dasselbe für $SO(N)$ , (ohne Berücksichtigung von spinoralen Darstellungen). (Beachten Sie, dass es dank des Levi-Civita-Symbols eine Dualität zwischen diesen Darstellungen gibt.) Für $SP(N)$ , gibt es einen direkten Zusammenhang mit Fundamentaldarstellungen und symmetrischen Tensoren. Natürlich können Sie, über alle Darstellungen hinweg, Korrespondenzen mit anderen Tensoren gewinnen. Beispielsweise repräsentiert die adjungierte Darstellung einen gemischten Tensor $T^i_j$ . Für SU(N) Darstellung $(20....)$ stellt einen symmetrischen spurlosen Tensor dar.
@Trimok Danke für den Kommentar, aber dies soll keine Frage zu Tensordarstellungen von Gruppen sein, sondern eine Frage zum Begriff eines "Tensoroperators" in einem Hilbert-Raum, seiner Formalisierung und der Existenz vorhandener mathematischer Literatur auf solche Sachen.
Ich möchte nur anmerken, dass Ihre Definition möglicherweise etwas zu hoch ist. In dem Sinne, dass Sie tatsächlich Folgendes tun: Sie wählen eine Repräsentation aus $\rho$ , dann "tensoren" Sie es zur Darstellung $\tau$ wirkt auf Tensoren und definiert dann ein Objekt, das zugeordnet ist $\tau$ statt $\rho$ . Du könntest auch damit anfangen $\tau$ . Es scheint mir auch sinnvoll, an „lineare objektwertige Operatoren“ zu denken, die Elemente von $\mathrm{Hom}(\mathcal{H},L\otimes\mathcal{H})=L\otimes\mathrm{Hom}(\mathcal{H},\mathcal{H})$ , wo $L$ ist ein Vektorraum, auf den eine Darstellung einwirkt $\tau$ .
Zweite Chance .... Ist es aber nicht $\rho(g)$ immer (falls vorhanden) die fundamentale (vektorielle) Darstellung der Gruppe $G$ ?. Ich verstehe Ihren Vorschlag mit einer anderen Darstellung nicht, während ich wahrscheinlich einen Punkt übersehen habe....
@Trimok Würden Sie zustimmen, dass wir einen Tensoroperator so definieren können, wie ich es getan habe ? Wenn ja, dann ist es einfach eine Verallgemeinerung, in der $\rho$ ist nicht darauf beschränkt, irgendeine Darstellung von zu sein $G$ . Das ist eigentlich der Punkt der Definition, die ich hier zu machen versuche. Ich denke, diese Verallgemeinerung ist wichtig, weil wir zum Beispiel in der QFT geneigt sein könnten, Objekte zu betrachten, deren Indizes sich in andere Darstellungen als eine Vektordarstellung transformieren.

QMechaniker · Answer 1

Die Kandidatendefinition von OP ist eine direkte Transkription des Tensoroperatorbegriffs, der in der Physik (und zB in Sakurai Abschnitt 3.10) verwendet wird, in eine offensichtlich koordinatenunabhängige mathematische Konstruktion. Tensoroperatoren werden zB im Satz von Wigner-Eckart verwendet .

In dieser Antwort schlagen wir die folgende leichte Verallgemeinerung der Kandidatendefinition von OP vor. Gegeben seien die folgenden fünf Punkte:

Lassen $G$ eine Gruppe sein.
Lassen $H$ ein komplexer Hilbertraum sein.
Lassen $\rho: G \to GL(V,\mathbb{F})$ eine Gruppenvertretung sein .
Lassen $R:G \to B(H)$ eine Gruppenvertretung sein.
Lassen $T:V\to L(H;H)$ sei eine lineare Abbildung.

Definition. Lassen Sie uns anrufen $T$ Für ein $G$ - äquivariante Abbildung, wenn
$\begin{matrix} (*) & \begin{aligned} \forall g \in G, v \in v : \\ T (ρ (g) v) = & EIN d (R (g)) T (v) \\ := & R (g) \circ T (v) \circ R (g)^{- 1} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \forall g\in G, v\in V: &\cr T(\rho(g)v)~=~& {\rm Ad}(R(g))T(v)\cr~:=~&R(g)\circ T(v)\circ R(g)^{-1}. \end{align}\tag{*}$

Die Kandidatendefinition von OP kann als Sonderfall der Definition (*) angesehen werden. Zum Beispiel, wenn $\rho_0: G \to GL(V_0,\mathbb{F})$ ist eine Gruppendarstellung, dann darf man es lassen $\rho: G \to GL(V,\mathbb{F})$ in Punkt 3 sei die Tensorproduktdarstellung $\rho=\rho_0^{\otimes m}$ mit Vektorraum

v = v_{0}^{\otimes m} = \underset{m Faktoren}{\underset{⏟}{v_{0} \otimes \dots \otimes v_{0}}} .

$V~=~V_0^{\otimes m}~=~\underbrace{V_0\otimes \ldots \otimes V_0}_{m \text{ factors}}.$

Tensormann · Answer 2

Die von joshphysics vorgeschlagene und von Qmechanic präzisierte Definition existiert bereits in der Literatur unter dem Namen Repräsentationsoperator . Dies wird zB in Sternbergs Group Theory and Physics sowie in dem etwas elementareren Text An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists von Jeevanjee diskutiert.

Ein wenig OT: Glaubst du, es lohnt sich, etwas über Tensoren aus dem klassischen Buch von Tullio Levi-Civita zu lernen? Welches Buch würdet ihr Anfängern empfehlen?
@Larry: Die ersten paar Kapitel von Jeevanjee sind eine sanfte Einführung in Tensoren für diejenigen mit einem physikalischen Hintergrund (BS-Niveau). Für eine allgemeinere, aber immer noch sehr zugängliche und pädagogische Einführung in Tensoren, siehe Simmonds' A brief on tensor analysis .

Friedrich Brünner · Answer 3

Im ersten Kapitel von Lie Groups for Pedestrians von Lipkin wird eine Methode zur Verallgemeinerung von irreduziblen Tensoroperatoren (und anderen Merkmalen der quantenmechanischen Drehimpulsalgebra) angegeben.

Die Aussage ist, solange man eine endliche Anzahl von Operatoren finden kann $X_\rho$ Erfüllen analoger Kommutierungsbeziehungen zu denen der Drehimpulsoperatoren in der Quantenmechanik, dh

[X_{ρ}, X_{σ}] = C_{ρ σ}^{τ} X_{τ},

$[X_\rho,\;X_\sigma]=C^\tau_{\rho\sigma}X_\tau,$

es ist immer möglich, irreduzible Tensoroperatoren zu finden. Man kann dann analog zu $J_z$ , wählen Sie einen (oder mehrere) Operatoren aus, die in der gewünschten Darstellung diagonal sein sollen. Darüber hinaus kann man die Analogie der Leiteroperatoren extrahieren $J_x\pm iJ_y$ .

Für den Drehimpuls ( $SO(3)$ ) sind irreduzible Tensoroperatoren in Bezug auf die Relation gegeben

[J_{z}, T_{k q}] = q T_{k q},

$[J_z,T_{kq}]=qT_{kq},$

wo $q$ ist die Anzahl der Komponenten und $k$ ist der Rang des Tensors. Es gibt $2k+1$ Werte für $q$ , die von reicht $-k$ zu $k$ .

Analoge Tensoroperatoren können ausgehend von jeder Algebra der obigen Form konstruiert werden. Beachten Sie, dass das entscheidende Objekt die Lie-Algebra ist, nicht die Lie-Gruppe, die als die Gruppe der kontinuierlichen Transformationen formuliert werden kann, die durch gegeben ist

ψ^{'} = (1 + ich ϵ X_{ρ}) ψ .

$\psi^\prime=(1+i\epsilon X_\rho)\psi.$

Dies ist keine strenge Antwort, da ich den Beweis nicht selbst ausgearbeitet habe. Ich kann dir nur empfehlen das Buch zu lesen.

Frederic danke für die Antwort, aber das ist immer noch nicht wirklich das, wonach ich suche. Mir ist bewusst, dass die Standardbehandlung von Tensoroperatoren in Bezug auf die Lie-Algebra formuliert werden kann, aber das von Ihnen skizzierte Verfahren geht nicht auf die Tatsache ein, dass ich hoffe, etwas weniger "koordinatenabhängiges" zu finden, das die charakterisiert endliche Anzahl von Operatoren, von denen Sie als ein einzelnes Objekt sprechen, ähnlich wie Tensorkomponenten in der Algebra als Komponenten multilinearer Abbildungen angesehen werden können.

David Bar Mosche · Answer 4

Die Verallgemeinerung der „sphärischen Tensorharmonischen“ der Quantenmechanik auf einen allgemeinen Fall einer kompakten Lie-Gruppe ist wie folgt gegeben: Sei $G$ sei eine kompakte Lie-Gruppe und $H$ eine abgeschlossene Untergruppe sein, dann weist der Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf $G/H$ (die als Eigenfunktionen des Killing-Laplace-Operators angesehen werden können) ist eine direkte Summe von $G$ -Darstellungen, die als "sphärische Darstellungen" bezeichnet werden. Diese Darstellungen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie eine haben $H$ Unterhemd. Siehe zum Beispiel Anhang B von HARMONIC ANALYSIS AND PROPAGATORS ON HOMOGENEOUS SPACES von Camporesi. Diese Definition verallgemeinert (und wurde nach ihr benannt) die sphärischen Harmonischen der Quantenmechanik. In diesem Fall $G=SU(2)$ , $H=U(1)$ und $G/H = SU(2)/U(1)$ . Die Sphärizitätsbedingung impliziert, dass die sphärischen Harmonischen nur Darstellungen sein können, die a enthalten $U(1)$ Singulett, muss also einen ganzzahligen Spin haben.

xuanji · Answer 5

Wenn Sie einen eher geometrischen Standpunkt wünschen, ist dieser Link ein guter Anfang. Es ist das erste Kapitel von Applications of Classical Physics von Blandford und Thorne. Der Vorteil der Formulierung besteht darin, dass die Transformationsgesetze für Tensoren auf natürliche Weise aus den Transformationsgesetzen für Vektoren abgeleitet werden können. Wenn Sie dann möchten, dass Ihre Tensoren auf eine bestimmte Weise transformieren, ändern Sie einfach Ihre Transformationsgesetze Ihrer Vektoren.

Hier ist eine sehr kurze Zusammenfassung (für kartesische Tensoren, dh unsere Vektoren leben im euklidischen Raum): a rank- $k$ Tensor ist als Funktion von definiert $k$ Vektoren zu einer reellen Zahl, zum Beispiel könnte ein Rang-zwei-Tensor geschrieben werden als

T = T (_,_)

$T = T(\_,\_)$

Beachten Sie, dass ein Vektor als Rang-1-Tensor betrachtet werden kann. $v(w) = v \cdot w$ , und daher kann ein Tensor zweiten Ranges auch als Funktion von Vektoren zu Vektoren betrachtet werden, was wahrscheinlich für die spezifische Anwendung von Tensoren in Sakurai relevant ist. Das Tensorprodukt ist als Produkt der Funktionen definiert

S (_,_) \otimes T (_,_,_) = S (_,_) T (_,_,_)

$S(\_,\_) \otimes T(\_,\_,\_) = S(\_,\_)T(\_,\_,\_)$

Sobald Sie eine Basis ausgewählt haben, können Sie die Tensorkomponenten schreiben

T = T_{ich j k} e_{ich} e_{j} e_{k}

$T = T_{ijk} e_i e_j e_k$

wo $i,j,k$ werden implizit summiert. Daraus kann man wie die übliche Formel für wie Komponenten ableiten $T_{ijk}$ unter Drehung umwandeln. Nehmen wir als Beispiel an $T$ Rang 2 ist und als Funktion von Vektoren zu Vektoren behandelt wird; dann können wir uns das ansehen $T_ijk$ als Komponenten einer 3 mal 3 Matrix. Wenn $T$ trägt einen Vektor $v$ zu $Tv$ , dann $T'$ tragen müssen $Rv$ zu $R(Tv)$ , Also $T' = RTR^{-1}$ .

Dies lässt sich direkt von der Rotation auf die Lorentz-Gruppe verallgemeinern und kann auch auf beliebige Diffeomorphismen verallgemeinert werden.
Sie haben einfach die Standardformulierung von Tensoren als multilineare Abbildungen beschrieben, die sowohl in der Differentialgeometrie als auch in der Algebra verwendet wird; Ich kenne das Zeug sehr gut. Beachten Sie, dass meine obige Kandidatendefinition genau in Bezug auf multilineare Karten geschrieben ist, die Sie hier beschreiben. Der Begriff, den ich hier definieren möchte, ist jedoch etwas weniger geradlinig als das, fürchte ich.
Bei deiner Frage ist mir das aufgefallen $U$ und $\rho$ sind darauf beschränkt, dass beide Repräsentationen derselben zugrunde liegenden Gruppe sind, aber in der Standardformulierung ist das Transformationsgesetz der Vektoren (die $\rho$ ) bestimmt vollständig das Transformationsgesetz der Tensoren (die $U$ ), also habe ich mich gefragt, ob es eine Inkonsistenz gibt. Leider bin ich mit Gruppendarstellungen nicht vertraut genug, um sicher zu sein.
@zodiac Beachte das $U$ ist eine Repräsentation der Gruppe $G$ auf einem Hilbert-Raum; es kann möglicherweise ein ganz anderes Tier sein als $\rho$ das ist eine Darstellung von $G$ auf einem endlichdimensionalen Vektorraum. Sie muss insbesondere nicht von der Repräsentation erzeugt werden $\rho$ so wie du es beschreibst.

ZeroTheHero · Answer 6

Ein Tensoroperator ist eine Sammlung von Operatoren, die irreduzibel unter Konjugation durch Gruppenelemente transformieren, also genau die zweite Bedingung des OP erfüllen. Die einzelnen Elemente der Menge sind die Komponenten der Tensoren.

Irreduzibilität ist nicht wesentlich, aber eine zusätzliche offensichtliche Anforderung, wenn es um Gruppen geht, für die Repräsentationen immer vollständig reduzierbar sind.

Dies kann auf jede Gruppe verallgemeinert werden - die Gruppe muss nicht einmal kontinuierlich sein. Alles, was Sie brauchen, ist eine Gruppenaktion auf die Menge der Komponenten des Tensoroperators.

Stefan Blake · Answer 7

Ich denke nicht, dass die Kandidatendefinition aufgrund der Notation solide ist $T(v_{1},\ldots ,v_{k})$ impliziert - in Analogie zur Notation der Mathematiker für Tensoren - dass $T(v_{1},\ldots ,v_{k})$ ist ein Operator, der trivial transformiert; aber es transformiert sich eindeutig nicht trivial, wie die RHS der Kandidatendefinition zeigt. Trotzdem gibt es einen Tensor, der sich trivial unter der Gruppe G transformiert. Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall $k=1$ und nehmen Sie außerdem an, dass die Tensoroperatoren $T_{i}$ sind hermitesch. Soweit die Indizes der hermiteschen Operatoren $T_{i}$ wurden in der Frage und Antwort unterdrückt; Wenn wir die Indizes einsetzen, haben wir es mit gewöhnlichen Tensoren zu tun,

T_{ich B}^{\bar{EIN}} .

$T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}} \ .$ Angenommen, diese Tensoren transformieren sich trivial unter der Gruppe G. Mit anderen Worten,

[D (g^{- T})]_{ich}^{k} [D (g^{- †})]_{\bar{C}}^{\bar{EIN}} [D (g^{- T})]_{B}^{D} T_{k D}^{\bar{C}} = T_{ich B}^{\bar{EIN}}

$[D(g^{-T})]_{i}^{\ \ k}[D(g^{-\dagger})]^{\bar{A}}_{\ \ \bar{C}}[D(g^{-T})]_{B}^{\ \ D} T_{k\ \ D}^{\ \bar{C}}=T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}}$ Multiplizieren Sie beide Seiten mit

[D (g)]_{l}^{i}

$[D(g)]^{i}_{\ \ l}$ .

[D (g^{- †})]_{\bar{C}}^{\bar{EIN}} [D (g^{- T})]_{B}^{D} T_{l D}^{\bar{C}} = T_{ich B}^{\bar{EIN}} [D (g)]_{l}^{ich}

$[D(g^{-\dagger})]^{\bar{A}}_{\ \ \bar{C}}[D(g^{-T})]_{B}^{\ \ D} T_{l\ \ D}^{\ \bar{C}}=T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}}[D(g)]^{i}_{\ \ l}$ Das Unterdrücken der Indizes der hermiteschen Operatoren stellt die Standarddefinition einer Menge von Tensoroperatoren wieder her

T_{i}

$T_{i}$ ,

D (g^{- †}) T_{l} D (g^{- 1}) = T_{ich} [D (g)]_{l}^{ich}

$D(g^{-\dagger})T_{l}D(g^{-1})=T_{i}[D(g)]^{i}_{\ \ l}$ Mit anderen Worten, der gewöhnliche Tensor

T_{ich B}^{\bar{EIN}} .

$T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}} \ .$ unter der Gruppe trivial transformiert und eine weniger koordinatenabhängige Definition muss davon ausgehen, dass dieser Tensor trivial transformiert.

Eine weitere kleine Einschränkung sind die Gruppenmatrizen $[D(g)]^{A}_{\ \ B}$ sind nicht notwendigerweise einheitlich; wenn die Indizes $A,B$ sind Lorentz-Spinor-Indizes, die Gruppenmatrizen sind die definierenden Repräsentanten von SL(2,C); diese sind nur einheitlich, wenn die Lorentz-Transformation eine räumliche Drehung ist.

Danke für die Antwort, aber ich denke, dass Sie die Notation möglicherweise falsch verstanden haben. Die „Indizes der Tensoren“ werden in meiner Notation wie in der Mathematik durch Auswertung der multilinearen Abbildung erzeugt $T$ auf einen $k$ -Tupel von Basiselementen des Vektorraums $V$ . Also für einen Tensoroperator von Rang $k$ , das ergibt so etwas wie $T_{i_1\cdots i_k}$ wie unter der Definition angegeben; Es sollten keine zusätzlichen Indizes vorhanden sein. Die Absicht ist nicht für jeden $T_{i_1\cdots i_k}$ Um ein Tensoroperator zu sein, ist es die "Sammlung" von diesen, die der Tensoroperator ist.
Angenommen, wir verwenden $SU(n)$ und wir wollen das Tensorprodukt von erhalten $2$ adjungierte Darstellungen. Adjungierte Darstellung bedeutet für Objekte, auf die die Transformation einwirkt: $ϕ_{j}^{ich} \to U_{k}^{ich} (U^{†})_{j}^{l} ϕ_{l}^{k}$ $\phi^i_j \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~\phi^k_l$ Indem wir dies straffen, erhalten wir: $ϕ_{j}^{ich} ϕ_{j^{'}}^{' {ich}^{'}} \to U_{k}^{ich} (U^{†})_{j}^{l} U_{k^{'}}^{{ich}^{'}} (U^{†})_{j^{'}}^{l^{'}} ϕ_{l}^{k} ϕ_{l^{'}}^{k^{'}}$ $\phi^i_j \phi'^{i'}_{j'} \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~ U^{i'}_{k'}~(U^\dagger)_{j'}^{l'}~\phi^k_l ~\phi^{k'}_{l'}$ Tatsächlich handelt es sich aber offensichtlich um dieselbe Transformation wie beim Objekt $\Phi^{i i'}_{jj'}$ : $Φ_{j j^{'}}^{ich {ich}^{'}} \to U_{k}^{ich} (U^{†})_{j}^{l} U_{k^{'}}^{{ich}^{'}} (U^{†})_{j^{'}}^{l^{'}} Φ_{l l^{'}}^{k k^{'}}$ $\Phi^{i i'}_{jj'} \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~ U^{i'}_{k'}~(U^\dagger)_{j'}^{l'}~\Phi^{k k'}_{ll'}$
(Fortsetzung.->...) Und es ist die gleiche Transformation wie bei der Tensordarstellung: $ϕ^{ich} ϕ^{{ich}^{'}} ϕ_{j} ϕ_{j^{'}} \to U_{k}^{ich} (U^{†})_{j}^{l} U_{k^{'}}^{{ich}^{'}} (U^{†})_{j^{'}}^{l^{'}} ϕ^{k} ϕ^{k^{'}} ϕ_{l} ϕ_{l^{'}}$ $\phi^i \phi^{i'} \phi_j \phi_{j'} \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~ U^{i'}_{k'}~(U^\dagger)_{j'}^{l'}~\phi^k \phi^{k'} \phi_l \phi_{l'}$ Während wir also mit einem Tensorprodukt von 2 adjungierten Darstellungen beginnen, ist es das gleiche Gesetz wie das Tensorprodukt von 2 fundamentalen und 2 antifundamentalen (vektoriellen) Darstellungen.

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