Spin 3232\frac{3}{2} Darstellung in Georgis Buch?

Question

Spin 3232\frac{3}{2} Darstellung in Georgis Buch?

Physik
Lügen-Algebra
Quanten-Spin
Drehimpuls
Lehrbuch-Erratum
Quantenmechanik

Benutzer12029

Georgis Buch Lie Algebras in Particle Physics 2ed Gleichung 3.32 listet die Spin-Operatoren im Spin auf $\frac{3}{2}$ Vertretung als:

J_{1} = (\begin{array}{cccc} 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \end{array})

$J_1=\left( \begin{array}{cccc} 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

J_{2} = (\begin{array}{cccc} 0 & - ich \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ ich \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & - ich 2 & 0 \\ 0 & ich 2 & 0 & - ich \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & ich \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \end{array})

$J_2=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -i\sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ i\sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & -i2 & 0 \\ 0 & i2 & 0 & -i\sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & i\sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

J_{3} = (\begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{3}{2} \end{array})

$J_3=\left( \begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right)$

aber die Kommutatoren scheinen nicht zu funktionieren $[J_1,J_2]\neq i J_3$ . Was gibt?

Ich habe den folgenden Mathematica-Befehl j[n,s] geschrieben, um die Matrix mit n=1,2 oder 3 Spins s zu erzeugen. Es erzeugt die Pauli-Matrizen und den Spin $1$ Matrizen korrekt, stimmt aber nicht überein $3/2$ rep in Georgis Buch.

j[3,s_/;IntegerQ[2s+1]&&s>0]:=SparseArray[Band[{1,1}]->Table[i,{i,s,-s,-1}],2s+1];
jplus[s_/;IntegerQ[2s+1]]:=SparseArray[Band[{1,2}]->Table[Sqrt[(s+1+m)(s-m)/2],{m,s-1,-s,-1}],2s+1];
jminus[s_/;IntegerQ[2s+1]]:=SparseArray[Band[{2,1}]->Table[Sqrt[(s+m)(s-m+1)/2],{m,s,1-s,-1}],2s+1];
j[1,s_/;IntegerQ[2s+1]]:=(jplus[s]+jminus[s])/Sqrt[2];
j[2,s_/;IntegerQ[2s+1]]:=(jplus[s]-jminus[s])/(I Sqrt[2]);

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Spin 3232\frac{3}{2} Darstellung in Georgis Buch?

Benutzer12029 · Answer 1

Es gibt einen Tippfehler in der Gleichung des Buches und es scheint keine leicht zugänglichen Online-Errata zu geben. Folgt man den Formeln die das Buch vorgibt $J_\pm$ :

J_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}} (J_{1} + ich J_{2})

$J_+=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(J_1+i J_2\right)$

J_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}} (J_{1} - ich J_{2})

$J_-=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(J_1-i J_2\right)$

J_{-, M^{'} M} \frac{\sqrt{(S - M) (M + S + 1)} δ_{M + 1, M^{'}}}{\sqrt{2}}

$J_{-,m'm}\frac{\sqrt{\left(s-m\right) \left(m+s+1\right)} \delta _{m+1,m'}}{\sqrt{2}}$

J_{+, M^{'} M} \frac{\sqrt{(S + M) (S - M + 1)} δ_{M - 1, M^{'}}}{\sqrt{2}}

$J_{+,m'm}\frac{\sqrt{\left(s+m\right) \left(s-m+1\right)} \delta _{m-1,m'}}{\sqrt{2}}$

findet man:

J_{1} = (\begin{array}{cccc} 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{array})

$J_1=\left( \begin{array}{cccc} 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \end{array} \right)$

J_{2} = (\begin{array}{cccc} 0 & - \frac{1}{2} (ich \sqrt{3}) & 0 & 0 \\ \frac{ich \sqrt{3}}{2} & 0 & - ich & 0 \\ 0 & ich & 0 & - \frac{1}{2} (ich \sqrt{3}) \\ 0 & 0 & \frac{ich \sqrt{3}}{2} & 0 \end{array})

$J_2=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{1}{2} \left(i \sqrt{3}\right) & 0 & 0 \\ \frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & -\frac{1}{2} \left(i \sqrt{3}\right) \\ 0 & 0 & \frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \end{array} \right)$

J_{3} = (\begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{3}{2} \end{array})

$J_3=\left( \begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right)$

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Benutzer12029

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Benutzer12029

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