Warum ist der Spinwert ±1/2±1/2\pm 1/2?

Ich weiß nicht, ob OP wirklich danach fragt (v1), aber es ist eine bemerkenswerte Tatsache in der Darstellungstheorie , dass es möglich ist, dies nur aus den Annahmen abzuleiten

1. der Hilbertraum$V$von Staaten ist$2$-dimensional und

2. die reale$so(3)$ Lügen-Algebra

   $$[\hat{S}_i, \hat{S}_j ] ~=~i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{S}_k \qquad\qquad (A)$$ von Spinoperatoren$\hat{S}_i$ wirkt auf$V$,

Das

kann nur eine der beiden folgenden Alternativen sein:

1. $m_s=\pm \frac{1}{2}$. ($V=\underline{2}$ist eine Dublettdarstellung mit Spin$s=\frac{1}{2}$.)

2. $m_s=0$. ($V=\underline{1}\oplus\underline{1}$ist eine Summe von Singulettdarstellungen mit Spin$s=0$.)

Die zweite Alternative ist natürlich nicht relevant für Elektronen, die einen Spin haben$s=\frac{1}{2}$.

Für einen Beweis unter Verwendung von Leiteroperatoren siehe zB Abschnitt 5 von 't Hoofts Vorlesungsunterlagen . Die pdf-Datei ist hier verfügbar .

Um die Logik zusammenzufassen: Sobald wir die Skalierungskonvention von (A) und (B) angepasst haben, bleibt keine Zweideutigkeit mehr in dem, was wir mit der Variablen meinen$m_s$. Sobald wir uns auf die Bedeutung von einigen$m_s$, können wir eine sinnvolle Diskussion über die möglichen Werte von führen$m_s$. Als nächstes verwenden wir die Darstellungstheorie, um zu dem Schluss zu kommen, dass die Werte von$m_s$sind halbe ganze Zahlen. Ebenso die Definition der Spins$s\geq 0$sind nicht willkürlich, sondern so skaliert, dass$\hbar^2s(s+1)$werden die Eigenwerte für den Casimir-Operator $\hat{S}^2$.