Zweifel an der Verwendung des Tensorprodukts in der Quantenmechanik

Ich studiere Quantenmechanik, insbesondere Tensorprodukt und Hilbert-Raum (zum ersten Mal). Ich habe einige Zweifel und möchte überprüfen, ob ich richtig verstanden habe.

Faktorisierung

Der Zustand eines Teilchens kann viele Freiheitsgrade haben und um den Zustand des Teilchens in Bezug auf einen davon zu beschreiben, verwenden wir einen Vektor in einem geeigneten Hilbert-Raum.

Wenn wir den Zustand bezüglich mehr als einem Freiheitsgrad beschreiben wollen, verwenden wir einen Vektor, der in einem Tensorprodukt-Hilbert-Raum lebt, zum Beispiel wenn wir Spin und Position eines Teilchens beschreiben:

H S P ich N ⊗ H P Ö S ich T ich Ö N
Oder wenn wir zwei verschiedene unabhängige Teilchen haben:
H P Ö S ich T ich Ö N 1 ⊗ H P Ö S ich T ich Ö N 2
Wenn dann die Freiheitsgrade entkoppelt sind (es gibt nämlich keine Terme im Hamilton-Operator, die sie mischen), können die Eigenzustände des Hamilton-Operators als Tensorprodukt zweier Zustände faktorisiert werden, die den richtigen Hilbert-Raum bewohnen, zum Beispiel wenn wir den Spin beschreiben und Position eines Teilchens:
S ( S P ich N ) ⊗ Ψ ( R )
Oder wenn wir zwei verschiedene unabhängige Teilchen haben:
Ψ A ( R 1 ) ⊗ Ψ B ( R 2 )

Frage

Was ich nicht verstehe, ist, warum, wenn wir uns mit einem Teilchen mit Spin und Position befassen, der generische Zustand ist S ( S P ich N ) ⊕ Ψ ( R ) und sowas habe ich noch nie gesehen:

A ( S A ( S P ich N ) ⊕ Ψ A ( R ) ) + B ( S B ( S P ich N ) ⊕ Ψ B ( R ) )
Stattdessen, wenn wir uns mit zwei Partikelsystemen befassen, schreiben wir Ψ A ( R 1 ) ⊕ Ψ B ( R 2 ) wir meinen eine Reihe von Eigenzuständen und der generische Zustand ist eine lineare Kombination davon wie:
A ( Ψ A ( R 1 ) ⊗ Ψ B ( R 2 ) ) + B ( Ψ C ( R 1 ) ⊗ Ψ D ( R 2 ) )

Andere Regeln

Schließlich, wenn der Freiheitsgrad einige weitere Regeln respektieren muss, nehmen wir als zulässige Eigenzustände nur eine Teilmenge aller möglichen Eigenzustände des Hamiltonoperators. Wenn wir zum Beispiel zwei identische Teilchen haben, müssen die Zustände entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein, und so haben wir: symmetrische Eigenzustände, die alle Zustände der Bosonen umfassen

1 / 2 ( Ψ A ( R 1 ) ⊗ Ψ B ( R 2 ) ) + 1 / 2 ( Ψ A ( R 2 ) ⊗ Ψ B ( R 1 ) )
und antisymmetrische Eigenzustände, die alle Zustände der Fermionen umfassen
1 / 2 ( Ψ A ( R 1 ) ⊗ Ψ B ( R 2 ) ) − 1 / 2 ( Ψ A ( R 2 ) ⊗ Ψ B ( R 1 ) )

Antworten (1)

Ihr Urteil ist richtig: Zustände wie

A ( S A ( S P ich N ) ⊗ Ψ A ( R ) ) + B ( S B ( S P ich N ) ⊗ Ψ B ( R ) )
sind durchaus erlaubt und kommen in der Natur häufig vor. Der Grund, warum Sie sie noch nicht gesehen haben, liegt vermutlich darin, dass Sie sich noch auf der Einführungsebene befinden, und tatsächlich sind viele Lehrbücher diesbezüglich etwas schwach, da sie implizieren, dass der Spin-Zustand immer herausgerechnet werden kann, was falsch ist.

Der oben gezeigte Spin/Raum-Verschränkungszustand beschreibt zum Beispiel den Strahl, der aus einem Stern-Gerlach-Magneten kommt. Außerdem beschreibt es, was wirklich zwischen den Elektronen in jedem Atom vor sich geht, obwohl elementare Behandlungen dies oft ein wenig verbergen.

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