Tensorprodukt vs. direktes Produkt für drei Spin-1/2-Teilchen

Betrachten wir drei Spin-1/2-Teilchen und konzentrieren wir uns nur auf ihren Eigenspin S . Der Hilbertraum muss dann sein H = ℂ 2 ⊗ ℂ 2 ⊗ ℂ 2 . Der Spin kann beschrieben werden durch v   ∈   SE(2) und die grundlegende Darstellung D 1 / 2 mit

S → = ℏ M → = 1 2 ℏ σ → .
Lassen Sie uns für die Basis von wählen ℂ 2 (1 Partikel):
| 1 2 , 1 2 ⟩ = ( ( 1 ) ( 0 ) ) ≡ | e → 3 ⟩ , | 1 2 , − 1 2 ⟩ = ( ( 0 ) ( 1 ) ) ≡ | − e → 3 ⟩ .
Weiterhin erhält man nach der Clebsch-Gordan-Reihe:
D 1 / 2 ⊗ D 1 / 2 ⊗ D 1 / 2 = D 1 / 2   ⊗ ( D 1 ⊕ D 0 ) = ( D 1 / 2 ⊗ D 1 ) ⊕ ( D 1 / 2 ⊗ D 0 ) = D 3 / 2 ⊕ D 1 / 2 ⊕ D 1 / 2 .
Wir haben also 8 Zustände im kombinierten 3-Teilchen-System.

Fragen:

  1. Betrachtet man einfach die direkte Summe der drei Teilchen, d.h ℂ 2 ⊕ ℂ 2 ⊕ ℂ 2 wir hätten nur 6 Staaten, richtig?
  2. Was ist das einfachste Bild, um die Konsequenzen zu sehen, anstatt das Tensorprodukt zu nehmen?
  3. Vielleicht könnte man mir auch ein gutes (physikalisches) Beispiel für den Unterschied geben ℝ 3 ⊗ ℝ 2 gegen ℝ 3 ⊕ ℝ 2 (Phasenraum?).

Ich habe nach ähnlichen Fragen gesucht und einiges gefunden. Allerdings interessiert mich nicht besonders das Aussehen der Ausgangszustände (dh ihr Spinimpuls), sondern eher die Unterschiede, wenn man das Tensorprodukt nicht berücksichtigt.

Tex-Tipps: \mathbb{C}muss schneller sein, als ein ℂZeichen zum Kopieren und Einfügen zu finden, und ähnlich für \otimes, \oplus, \equiv, und \in. |hat nicht immer die gleichen Abstandsregeln wie \lvert, nur letzteres ist ein tatsächliches Trennzeichen, und \hbarund \sigmawird anders als (dh besser als) ħund σin MathJax gesetzt. (+1 auf den Inhalt.)
Vielen Dank für Ihre Anmerkungen. Nebenbemerkung: In meinem Fall ist es die Faulheit, nicht gezwungen zu sein, solche Zeichen zu kopieren oder Text im Latex-Stil einzugeben, weil ich ein Tool namens Neo verwende (Tastaturlayout, siehe: neo-layout.org/index_en.htmlhttp://neo -layout.org/index_en.html ). Ich habe jedoch festgestellt, dass das Ergebnis manchmal das Layout so durcheinander bringen kann, dass ich mich anpassen muss, um es leserfreundlich zu halten. Daher schätze ich Korrekturen (Änderungen) zu lernen.

Antworten (2)

Die direkte Summe von Hilbert-Räumen ist kein "guter" Begriff, wenn es um Zustandsräume geht.

Die "tatsächlichen" Zustände sind Elemente des projektiven Hilbert-Raums , in dem jeder Strahl auf einen Punkt geschrumpft ist, um widerzuspiegeln, dass Phasen und Normalisierung den Zustand nicht verändern, den ein Vektor im Hilbert-Raum darstellen soll.

Nun, auf den projektiven Räumen ergibt die direkte Summe der ursprünglichen Räume einfach nichts, was sich bei Betrachtung korrekt verhält: Beachten Sie das für Zustände ϕ ∈ H 1 Und ψ ∈ H 2 , ( C ϕ , ψ ) ∈ H 1 ⊕ H 2 ist nicht auf dem gleichen Strahl wie ( ϕ , ψ ) ∈ H 1 ⊕ H 2 für C ∈ C − { 1 } . Die direkte Summe respektiert also nicht die Natur von Quantenzuständen, es ist einfach der falsche Produktbegriff.

Andererseits bedeutet das die Bilinearität des Tensorprodukts ( C ϕ ) ⊗ ψ = C ⋅ ( ϕ ⊗ ψ ) , also bildet das Tensorprodukt tatsächlich das Produkt von Elementen von Strahlen auf denselben Strahl im Produktraum ab, unabhängig davon, welchen Repräsentanten wir wählen.

Daher ist der eigentliche Quantenbegriff des Produkts das Tensorprodukt, nicht die direkte Summe. (Siehe auch diese Frage , und als weitere interessante Anmerkung entstehen "verschränkte Zustände" einfach als das Versagen einer Karte vom kartesischen Produkt der projektiven Räume zum Tensorprodukt, um surjektiv zu sein, da letzteres größer ist.)

Das häufige Auftreten von direkten Summen ist jetzt darauf zurückzuführen, dass Darstellungen von Gruppen den Begriff irreduzibler Darstellungen haben – Darstellungen, die sich nicht als direkte Summe anderer Darstellungen zersetzen.

Wenn wir also ein kombiniertes Quantensystem erhalten möchten, nehmen wir zuerst das Tensorprodukt ihrer Zustandsräume (die normalerweise Darstellungen der Symmetriegruppen der Theorie tragen) und zerlegen dann diese Tensorprodukte in die direkte Summe der Darstellungen, weil die irreduziblen einfacher zu handhaben sind und im Fall von Spin direkt dem Gesamtspin eines Zustands in dieser Darstellung entsprechen.

(Um Ihre Fragen wörtlich und direkt zu beantworten:

  1. Ja richtig.
  2. Sie haben einen weniger dimensionalen Raum, der sich bezüglich der projektiven Struktur nicht richtig verhält.
  3. R 3 ⊗ R 2 = R 6 , Aber R 3 ⊕ R 2 = R 5 )
An eine Argumentation aus dem ursprünglichen Hilbert Space habe ich bisher nicht gedacht. Um Ihrer Argumentation jedoch vollständig zu folgen, sollte ich nicht die Wahrscheinlichkeiten berechnen (dh wie Messen und Normalisieren) und prüfen, ob sie sich im Fall der Verwendung der direkten Summe wirklich nicht aufheben. Ich meine, für ein nicht zusammengesetztes System habe ich das zu Beginn meiner QM-Vorlesungen gesehen, aber hier sehe ich es nicht.
@RedPencil: Ich bin mir nicht sicher, was du fragst: Schau es dir anϕ Undc ⋅ ϕ , die im gleichen Zustand sindH1 (da sie sich nur durch Multiplikation mit einer komplexen Zahl unterscheiden!). Sehen Sie sich nun die Tupel an( ϕ , ψ ) Und( c ⋅ ϕ , ψ ) . Diese sollten denselben Zustand darstellen, es gibt jedoch keine komplexe ZahlD so dassD⋅ ( ϕ , ψ ) = ( c ⋅ ϕ , ψ ) WennC war nicht bereits 1, also repräsentieren diese Tupel nicht denselben Zustand. Dies zeigt, dass die direkte Summe die projektive Natur von Zuständen nicht respektiert.
Genau das meinte ich: Richtig,D( φ , ψ ) = ( c φ , ψ ) kann nicht halten, wenn wir ausschließen1 . Woran ich jedoch dachte, ist, dass das Zeug mitλ ψ ψ  ist auf Borns Interpretation von QM zurückzuführen (Pr ( ψ ) = | ⟨ψ | _ φ ⟩|2/ ⟨ψ | _ ψ ⟩⟨ φ | φ ⟩ ). Und wie schließe ich das dannPr ( ( c φ , ψ ) ) ≠ Pr ( ( φ , ψ ) ) ?
@RedPencil: Beachten Sie, dass das innere Produkt von( c ϕ , ψ ) mit( ϕ , ψ ) Istc ⟨ ϕ | ϕ ⟩ + ⟨ ψ | ψ ⟩ . Gehen Sie davon aus (nur der Einfachheit halber!).ϕ , ψ sind normalisiert, also ist das Skalarprodukt geradec + 1 . Der Nenner der auf die beiden Zustände angewandten Born-Regel ist2 (C2+ 1 ) , und sein Zähler ist( c + 1)2 . Wenn nun die beiden Dinge derselbe Zustand wären, sollte die Born-Regel 1 ergeben. Die Forderung, dass dies tatsächlich geschieht, ergibt die einzige Lösungc = 1 . Man kann den projektiven Räumen vertrauen, sie sind die getarnte Born-Regel ;)
Ich schätze Ihre Kommentare. Es ist eine wirklich schöne Seite mit hilfsbereiten Menschen. Ja, es ist ein Fluch, dass ich die mathematischen Konzepte nicht so schnell verstehe, was mir erlauben würde, mehr Zeit mit körperlichen Konsequenzen zu verbringen ... Cheers!
@L.Su: Ja, es gibt immer noch ein Problem damit: Erstens bildet es normalisierte auf nicht normalisierte Zustände ab, und zweitens steigt diese Karte nicht auf eine richtige Karte auf den projektiven Hilbert-Räumen ab:ϕ Undc _ sind derselbe Punkt im projektiven Raum, aber wenn( ϕ , ψ ) = ( ϕ , 0 ) + ( 0 , ψ ) Und( c ϕ , ψ ) sind dann nicht derselbe Zustand( ϕ , 0 ) Und( cϕ , 0 ) _ sind nicht derselbe Zustand, und daher erhalten wir keine wohldefinierte Karte der projektiven Räume - ein weiterer Hinweis darauf, dass dies der falsche Begriff ist!
@ACuriousMind Ich denke, wir müssen uns identifizierenc ( ϕ , ψ ) ( c ϕ , ψ ) ( ϕ , c ψ )   . Dann funktioniert die obige Definition für endlichdimensionale Hilbert-Räume, weil wir den Isomorphismus dazwischen habenH1⊕H2 UndH1×H2 . Unter Verwendung der Definition des Tensorprodukts zusammen mit den Identifikationen können wir die Äquivalenz beweisen. Doch dann wirkt alles umständlich...
@L.Su: Dann identifizieren wir willkürlich Zustände im Hilbert-Raum, die sich nicht auf denselben Strahlen befinden, was bedeutet, dass der tatsächliche Zustandsraum nicht mehr der projektive Hilbert-Raum ist. Außerdem machen Sie die direkte Summe, die bereits kleiner als das Tensorprodukt ist, mit einer solchen Identifizierung noch kleiner, sodass dies nicht dasselbe sein kann wie das einfache Nehmen des Tensorprodukts. Das Tensorprodukt ist der korrekte (kategoriale) Begriff des Produkts in der Kategorie der projektiven Räume, und die direkte Summe ist es nicht - es gibt keine Möglichkeit, dies zu "reparieren".
@ACuriousMind Was mir in den Sinn kommt, ist der Isomorphismus zwischen direkter Summe und direktem Produkt endlichdimensionaler Räume. Der von aufgespannte Vektorraum(e1,e2) mite1,e2 in den Basen vonH1 UndH2 , ist nicht mehr kleiner als das Tensorprodukt. Es gibt auch keine Identifizierung verschiedener Strahlen, weil diese Konstruktion genau ein Tensorprodukt erzeugt.
@L.Su: Sie können das Tensorprodukt nicht wirklich auf diese Weise konstruieren, da( c ϕ , c ψ ) = c ( ϕ , ψ ) in der direkten Summe/Produkt, und daherc ( ϕ , ψ ) = ( c ϕ , ψ ) = ( c ϕ , c ψ ) , was im Tensorprodukt (( c ϕ ) ⊗ ( c ψ ) =C2( ϕ ⊗ ψ ) ) Wie auch immer, es ist ein bisschen unnötig kompliziert - durch die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts haben Sie bereits immer eine (bilineare!) Abbildung vom direkten Produkt / der Summe in das Tensorprodukt. Ich glaube, ich habe nicht verstanden, was Sie versuchen zu tun.
Ich habe die vorherigen falschen Aussagen gelöscht und schließe hier: Ich muss zwei weitere Identifikationen hinzufügen, wie wir es tun können, um ein Tensorprodukt aus zwei Vektorräumen zu konstruieren. Was ich tat, war eigentlich die Rekonstruktion des Tensorprodukts aus der direkten Summe. Wie du schon sagtest, es ist verworren. Bleiben wir bei deiner Antwort.
@ACuriousMind Lieber Freund, könnten Sie bitte Ihre Diskussion mit Red Pencil zur Antwort hinzufügen, weil ich denke, dass die Argumente, die Sie vorgebracht haben, sehr entscheidend waren. Ich habe nicht ganz verstanden, wie du gerechnet hast2 (C2+ 1 ) könnten Sie das vielleicht auch in Ihrer Antwort zeigen? (und vielleicht die richtige Version derselben Berechnung erhalten mit⊗ Produkt). Vielen Dank im Voraus.
Dies ist eine gute Antwort, aber es scheint mir, die Frage einfach auf "Warum werden physikalische Zustände durch Linien im Hilbert-Raum und nicht durch einzelne Vektoren im Hilbert-Raum dargestellt?" Schließlich haben Phasenunterschiede zwischen Komponenten innerhalb eines einzigen Reinzustandsvektors physikalisch beobachtbare Konsequenzen, sodass es sicherlich logisch vorstellbar ist, dass Phasenunterschiede zwischen verschiedenen Subsystemen dies auch könnten. Ich denke, am Ende des Tages müssen wir nur auf die experimentellen Beweise für Verschränkung zurückgreifen.
Beachten Sie, dass das Kombinieren von Subsystemen über direkte Summen anstelle von Tensorprodukten die lokale Vorhersagekraft von QM nicht brechen würde, da die Phasenunterschiede zwischen Subsystemen genau wie die Verschränkung im üblichen Bild nur durch eine gemeinsame Messung an beiden Subsystemen gemessen werden könnten. Solange Sie also immer nur ein Subsystem messen, können Sie den Zustandsvektor dieses Subsystems um eine beliebige Konstante neu skalieren, ohne die Observablen zu beeinflussen.
In der Tat wären wir unter dieser Regel für die Kombination von Subsystemen völlig berechtigt, einen einzelnen Spin-1/2 als ein "gemeinsames System" zweier "Subsysteme" zu betrachten.| ↑⟩ Und| ↓⟩ !

Es geht hauptsächlich um deine Frage 2.

Eine Zerlegung des Hilbert-Raums in eine direkte Summe H = H 1 ⊕ H 2 stellt dar, dass sich das System in einem Zustand befinden kann H 1 , oder ein Zustand in H 2 (oder natürlich eine Überlagerung). In deinem Beispiel H = D 3 / 2 ⊕ D 1 / 2 ⊕ D 1 / 2 , kann sich das System in Spinzuständen befinden 3 2 , oder drehen 1 2 (und Überlagerungen davon).

Eine Zerlegung des Hilbertraums in ein Tensorprodukt H = H 1 ⊗ H 2 stellt dar, dass das System durch einen Zustand aus beschrieben wird H 1 und ein Zustand von H 2 (und Überlagerungen solcher Zustände). Dies ist natürlich bei Mehrteilchensystemen der Fall: Eine Beschreibung des Systems bedeutet, für jedes Teilchen einen Zustand anzugeben.

Wenn der Hilbert-Raum eine direkte Summenzerlegung zulässt, gibt es keine Möglichkeit, eine Superposition zweier Zustände aus unterschiedlichen invarianten Unterräumen zu bilden. Diese Art von Phänomen führt zu den sogenannten Superselection-Sektoren. Ich denke, das Argument der Antwort von ACuriousMind deutet irgendwie darauf hin. Die direkte Summe ist also nicht die richtige Art, unabhängige Komponenten eines Quantensystems zusammenzusetzen.
@ Phoenix87: Ein Raum aus zwei Spin-1/2-Partikeln kann in eine direkte Summe aus einem Spin-1- und einem Spin-0-Raum zerlegt werden, und trotzdem | ↑↓ ⟩ ist ein gültiger Zustand und eine Überlagerung von Spin 0 und Spin 1. Superselektionsregeln erfordern, dass die Dichtematrizen und Observablen mit einer Symmetrie kommutieren, dh eine direkte Summenstruktur haben.
Tensorprodukt vs. direktes Produkt für drei Spin-1/2-Teilchen
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