Warum ist S⃗ (A)⊗S⃗ (B)=ℏ24(σx⊗σx+σy⊗σy+σz⊗σz)S→(A)⊗S→(B)=ℏ24(σx⊗σx+σy⊗σy+σz⊗). σz) \vec{S}^{(A)} \otimes \vec{S}^{(B)} = \frac{\hbar^2}{4}(\sigma_x \otimes \sigma_x + \sigma_y \otimes \sigma_y + \sigma_z \otimes \sigma_z)?

Ich denke nicht, dass der Autor das Tensorprodukt verwenden sollte$\otimes$In

$$\vec{S}^{(A)} \otimes \vec{S}^{(B)} = \frac{\hbar^2}{4}(\sigma_x \otimes \sigma_x + \sigma_y \otimes\sigma_y + \sigma_z \otimes \sigma_z)$$ weil er wirklich kein Tensorprodukt meint. Eher, $\vec S$ist ein Vektoroperator, das heißt, seine Komponenten transformieren sich wie die Komponenten eines Vektors, nur dass sie Operatoren sind, keine Zahlen. Dann das innere Produkt $\vec S^A \cdot \vec S^B$macht Sinn, $$\vec S^A \cdot \vec S^B = S_x^A \circ S_x^B + S_y^A \circ S_y^B + S_z^A \circ S_z ^B$$ Wo $\circ$ist die Komposition als Operatoren (Matrixmultiplikation, wenn Sie es vorziehen). Beachten Sie, dass dies nicht unbedingt symmetrisch ist! Wenn $\vec S = S^A \otimes 1 + 1 \otimes S^B$, dann erhalten wir $$\vec S \cdot \vec S = \vec S^A \cdot \vec S^A \otimes 1 + 2 (\vec S^A \otimes 1) \cdot (1 \otimes \vec S^B) + 1 \otimes \vec S^B \cdot \vec S^B .$$

Beachten Sie Folgendes, um den Ausdruck zu finden, mit dem Sie Probleme hatten$\vec S^A_ x \otimes 1 = \frac{\hbar}{2} \sigma_x \otimes 1$,$1 \otimes \vec S^B_x = \frac{\hbar}{2} 1 \otimes \sigma_x$. Dann

$$S^A_x \circ S^B_x = \frac{\hbar^2}{4}\sigma_x \otimes \sigma_x$$ und natürlich ist es das gleiche für $y$Und $z$.

Das Tensorprodukt macht absolut Sinn! Es ist das innere Produkt, das dies nicht tut! Diese Vektoren "leben" in verschiedenen Hilbert-Räumen, man kann daraus kein inneres Produkt machen, es macht keinen Sinn.

Was die Gleichung bedeutet, ist einfach die Aussage von 2 verschiedenen Teilchen mit 2 verschiedenen Hilbert-Räumen. Teilchen A hat seinen Zustandsvektor im Hilbert-Raum A und dasselbe für B, also$\vec{S}_A$wirkt auf die Zustände von A und gleich für$\vec{S}_B$auf B.

Seit$\vec{S}_A=(S_x,S_y,S_z)_A=\frac{\hbar}{2}(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)_A$Und$\vec{S}_B=(S_x,S_y,S_z)_B=\frac{\hbar}{2}(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)_B$, ist die Tensornotation der formale Weg, um anzugeben, dass der erste Operator (S_A) auf den A-Zustandsvektor und S_B auf den B-Zustandsvektor wirken wird. Ein einfaches Beispiel wäre eine Komponente des Tensorprodukts, die auf einen verschränkten Zustand von A und B in der z-Richtung basierend auf diesen wirkt. Wenn Sie also in einem Zustand arbeiten wie:

$\left|\frac{1}{2} \frac{1}{2}\right>_A\otimes\left|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right>_B+\left|\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\right>_A\otimes\left|\frac{1}{2}\frac{1}{2}\right>_B$

jeder Operator wirkt nur auf den entsprechenden Zustand.

Eigentlich "glaube" ich, dass dieses Thema noch nicht wirklich "erledigt" ist...

Der Ausdruck

$$\frac12 \left(\sigma_x\otimes\sigma_x+\sigma_y\otimes\sigma_y+\sigma_z\otimes\sigma_z\right)$$ wird von P. Dirac in seinem berühmten Buch The Principles of Quantum Mechanics IV ed. Kapitel IX p. 221, wo er diesen Ausdruck verwendet (tatsächlich schreibt er das Tensor- oder Kroneckerproduktzeichen nicht explizit $\otimes$aber man "versteht", dass es ihm entspricht). Er verwendet diesen Ausdruck, um einen Permutationsoperator für Teilchen mit Spin 1/2 (Elektronen) zu erhalten. Er "identifiziert" es dann mit dem Ausdruck $(\vec\sigma,\vec\sigma)$, aber er gibt keine physikalische Begründung für die Notation .... Er verwendet diese Ausdrücke, um die Austauschenergie zu berechnen, die ein grundlegendes Thema in der Physik (Magnetismus) ist und mit dem Pauli-Symmetrieprinzip verknüpft ist.

Vielleicht hat jemand andere "alte" Referenzen.