Gibt es eine Bi-4-Vektordarstellung der Dirac-Gammamatrizen und des Spinors?

Ich habe kürzlich gelernt, dass der Dirac-Spinor in der Weyl-Basis (chiral) dargestellt ist Ψ = ( ψ L ψ R ) , dann gegeben eine Lorentz-Transformation Λ = e X P [ 1 2 Ω ρ σ M ρ σ ] , die entsprechende Transformation S [ Λ ] für Ψ → S [ Λ ] Ψ sieht aus wie S [ Λ ] = e X P [ 1 2 Ω ρ σ S ρ σ ] . In der chiralen Basis sieht dies wie bei jedem der aus ψ L Und ψ R Transformation als die verschiedenen Spin-1/2-Darstellungen von S Ö ( 3 , 1 ) .

Hier das S Ö ( 3 , 1 ) Lie-Algebra wird durch die Standard-Lorentz-Matrizen dargestellt M ρ σ für die X μ Transformation und die anderen Matrizen S ρ σ sind die von den Gammamatrizen erzeugte Algebra S ρ σ = 1 4 [ γ ρ , γ σ ] .

Meine Frage ist (in wahrscheinlich ungenauer Formulierung), ist es möglich zu wählen γ μ 8x8-Matrizen so sein, dass S ρ σ = 1 4 [ γ ρ , γ σ ] = M ρ σ ⊕ M ρ σ ? dh können wir auswählen γ μ damit die chiralen Komponenten ψ L , ψ R jede Transformation wie 4-Vektoren?

Antworten (2)

  1. OP will offenbar über reduzierbare Darstellungen der Clifford-Algebra diskutieren C l ( 1 , 3 ; R ) .

  2. Konkret scheint OP nach einer 8-dimensionalen direkten Summendarstellung zu fragen

    W   :=   v ⊕ v
    von 2 Kopien der 4-dimensionalen Dirac-Spinor- Darstellung
    v   :=   ( 1 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 2 ) .
    Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

  3. Der 8 × 8 Gamma-Matrizen

    Γ μ   =   ( γ μ 0 0 γ μ )
    im W -Darstellung sind Blockmatrizen mit 2 Kopien von 4 × 4 Gammamatrizen in der v -Darstellung.

  4. Der W -Darstellung der Lorentz-Generatoren nehmen eine ähnliche Blockdiagonalform an, vgl. OPs letzte Frage (v1).

Aber ... dieser triviale Gamma-Repräsentant wird niemals die L- und R-Komponenten verbinden, oder?
Ich habe eher gefragt, ob es eine gibt ( 1 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 ) Darstellung der Gammamatrizen. Dieser Beitrag scheint zu sagen, dass die irreduziblen komplexen Darstellungen wie V aussehen.
@Joe Ich verstehe ... solange Sie diese Wiederholung schätzen, z. B. mischt die 0-Komponente im Massenbegriff niemals die oberen 4 mit den unteren vier Komponenten ... was ich als das definierende Merkmal von L und R verstanden habe .... Ansehen Γ 5 ; seine chiralen Projektoren eliminieren zwei Dubletten hintereinander.

Lassen Sie mich, ohne den Kern Ihrer Frage (8 × 8?) vollständig zu verstehen, nur die chiralen Basisausdrücke für überprüfen γ 5 und die Lorentz-Generatoren S μ v , die beide in Bezug auf die chiralen Projektionen blockdiagonal sind , sich also nicht vermischen ψ L mit ψ R , im Gegensatz zu den γs:

γ 0 = ( 0 ICH 2 ICH 2 0 ) , γ k = ( 0 σ k − σ k 0 ) , γ 5 = ( − ICH 2 0 0 ICH 2 ) ,

S 0 J = 1 2 ( − σ J 0 0 σ J ) , S J k = ich ϵ k J M 2 ( σ M 0 0 σ M ) = ich ϵ k J M γ 5 S 0 M .

Generatoren (in der Algebra) bilden also offensichtlich eine reduzierte Darstellung von nicht wechselwirkenden 2 × 2-Blöcken.

Formaler ist die reduzierte 2 ⊕ 2 -Wiederholung

2 S 0 J = ( − σ J ) ⊕ σ J , 2 S J k = ich ϵ k J M ( σ M ⊕ σ M ) .

Ich verstehe diesen Teil. In der Weyl-Darstellung von γ μ die du gegeben hast, die generiert S μ v sind Block diagonal, und jeder Block entspricht dem S L ( 2 , C ) Lüge Algebra. Meine Frage war, ob wir die Gamma-Matrizen als echte 8x8-Matrizen auswählen können S μ v sind blockdiagonal und entsprechen dem S Ö ( 3 , 1 ) Lüge Algebra. Wenn dies wahr wäre, könnten wir jede Komponente behandeln, ψ L , ψ R als transformierend wie ein 4-Vektor, durch den Ausdruck für S [ Λ ] oben angegeben.
?? Was ist falsch an dieser Darstellung? Natürlich ist die Algebra der 6 S s die Algebra von SO(3,1); wie konnte es daran scheitern? Es ist ein Bi-Spinor-Repräsentant, der auf 4D wirkt: ψ L ⊕ ψ R rep. Sie möchten die beiden Spin 1/2s jedes Blocks zu einem Spin 1 von jedem hinzufügen?
Es ist nichts falsch mit der Darstellung per-sagen. Ich meinte, dass ich die 6 Ss als die gleichen Matrizen wie die Lorentz-Algebra haben wollte, wie sie regelmäßig im 4D-Raum betrachtet werden, oder als direkte Summe von ihnen. Ich möchte wissen, ob wir den Spinor durch eine andere Auswahl von Gammamatrizen, die nicht enthalten sind, als zwei Spin 1 anstelle von zwei Spin 1/2 ausdrücken können C 4 X 4 , aber in R 8 X 8 . Ich habe nirgendwo gesehen, dass es nicht explizit gemacht werden kann, aber ich habe nicht gesehen, dass seine Unmöglichkeit angegeben ist, und ich habe Probleme, sie selbst zu konstruieren, weshalb ich auf Stackexchnge frage
Ich verstehe. Sie möchten, dass die Spinorkarte auf die Lorentz-Gruppe erweitert wird. Es bildet 2x2 komplexe Matrizen auf reelle Vektoren ab. Es ist die Grundlage der Twistor-Theorie, aber eine ganz andere Frage.
Sie scheinen zu versuchen, APS neu zu erfinden , eine traurige Geschichte ...
Vielen Dank für Ihre Antworten, das scheinen gute Ressourcen zu sein. Können Sie erklären, wie meine Frage mit Twistors und APS zusammenhängt und warum dies eine traurige Geschichte ist? Es ist ein bisschen schwierig, die Ideen für das Gesamtbild aus den Wikipedia-Links zu bekommen.
Gibt es eine Bi-4-Vektordarstellung der Dirac-Gammamatrizen und des Spinors?
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