Beziehung zwischen der Dirac-Algebra und der Lorentz-Gruppe

Es ist ziemlich nervig, dass P&S dir das einfach geben

$$S^{\mu \nu} = \frac{i}{4} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]$$ Aus dem Nichts, hier ist eine Möglichkeit, es ähnlich wie Björken-Drells Ableitung (die von der Dirac-Gleichung ausgeht), aber direkt aus der Clifford-Algebra abzuleiten, unter der Annahme, dass Produkte der Gamma-Matrizen eine Basis bilden. Gegeben sei eine Clifford-Algebra von$\gamma^{\mu}$ist befriedigend $$\begin{align} \{ \gamma^{\mu} , \gamma^{\mu} \} = 2 \eta^{\mu \nu} I \end{align}$$ wir bemerken das für eine invertierbare Transformation$S$wir haben $$\begin{align} 2 \eta^{\mu \nu} I &= 2 \eta^{\mu \nu} S^{-1} S \\ &= S^{-1}(2 \eta^{\mu \nu}) S \\ &= S^{-1}\{ \gamma^{\mu} , \gamma^{\mu} \} S \\ &= \{ S^{-1} \gamma^{\mu} S, S^{-1}\gamma^{\mu} S \} \\ &= \{ \gamma'^{\mu} , \gamma'^{\mu} \} \end{align}$$ zeigt uns, dass die Clifford-Algebra der Matrizen $$\gamma'^{\mu} = S^{-1} \gamma^{\mu} S$$ erfüllt auch die Clifford-Algebra, daher kann jeder Satz von Matrizen, der die Clifford-Algebra erfüllt, aus einem gegebenen Satz erhalten werden$\gamma^{\mu}$unter Verwendung einer nicht-singulären Transformation$S$. Da die Antikommutierungsbeziehungen die Metrik beinhalten$\eta_{\mu \nu}$, und wir wissen, dass die Metrik unter Lorentz-Transformationen invariant bleibt $$\eta^{\mu \nu} = \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} \eta^{\rho \sigma}$$ dies impliziert sofort $$\begin{align} 2 \eta^{\mu \nu} I &= \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} 2 \eta^{\rho \sigma} I \\ &= \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} \{ \gamma^{\rho} , \gamma^{\sigma} \} \\ &= \{ \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \gamma^{\rho} , \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} \gamma^{\sigma} \} \\ &= \{ \gamma'^{\mu} , \gamma'^{\mu} \} \end{align}$$ was zeigt, dass die Lorentz-Transformation einer Gamma-Matrix auch die Clifford-Algebra erfüllt und somit selbst eine Gamma-Matrix ist und daher in Form einer nicht-singulären Transformation ausgedrückt werden kann$S$ $$\begin{align} \gamma'^{\mu} &= \Lambda^{\mu} \, _{\nu} \gamma^{\nu} \\ &= S^{-1} \gamma^{\mu} S \end{align}$$ Wo$S$ist zu bestimmen. Da die Betreiber$S$das Durchführen einer Lorentz-Transformation darstellen$\gamma^{\mu}$, und Lorentz-Transformationen auf Feldern expandieren als$I - \frac{i}{2}\omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}$, erweitern wir$\Lambda$Und$S$als $$\begin{align} \Lambda^{\mu} \, _{\nu} &= \delta ^{\mu} \, _{\nu} + \omega^{\mu} \, _{\nu} \\ S &= I - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} \Sigma^{\mu \nu} \end{align}$$ Wo$\Sigma^{\mu \nu}$muss antisymmetrisch sein und auf der Basis von Gammamatrizen konstruiert werden, daher aus $$\begin{align} \gamma'^a &= \Lambda^a \, _{\mu} \gamma^{\mu} \\ &= (\delta^a \, _{\mu} + \omega^a \, _{\mu})\gamma^{\mu} \\ &= \gamma^a + \omega^a \, _{\mu} \gamma^{\mu} \\ &= \gamma^a + \omega_{b \mu} \eta^{a b} \gamma^{\mu} \\ &= \gamma^a + \omega_{b \mu} \eta^{a [b} \gamma^{\mu]} \\ &= \gamma^a + \frac{1}{2} \omega_{b \mu} (\eta^{a b} \gamma^{\mu} - \eta^{a \mu} \gamma^b) \\ &= \gamma^a + \frac{1}{2} \omega_{\nu} (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}) \\ &= S^{-1} \gamma^a S \\ &= (I - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} \Sigma^{\mu \nu}) \gamma^a (I + \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} \Sigma^{\mu \nu}) \\ &= \gamma^a - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} [\gamma^a, \Sigma^{\mu \nu}] \end{align}$$ wir haben die Beziehung (die so interpretiert werden kann, dass sie besagt$\gamma^a$transformiert als Vektor unter Spinor-Darstellungen von Lorentz-Transformationen, wie z. B. in Tongs QFT-Notizen) $$\begin{align} i (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}) = [\gamma^a, \Sigma^{\mu \nu}] \end{align}$$ und wir wissen es$\Sigma^{\mu \nu}$, da es antisymmetrisch ist, muss ein Produkt von beinhalten$\gamma$Matrizen (wegen der 16-dimensionalen Basis gebildet aus Clifford-Algebra-Elementen), nur zwei von der linken Seite, und von $$\begin{align} \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} &= - \gamma^{\nu} \gamma^{\mu} , \ \ \ \mu \neq \nu, \\ \gamma^{\mu} \gamma^{\mu} &= \gamma^{\nu} \gamma^{\mu} , \ \ \ \mu = \nu, \end{align}$$ das erwarten wir $$\begin{align} \Sigma^{\mu \nu} &= c [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}] \\ &= c (\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \gamma^{\nu} \gamma^{\mu}) \\ &= 2 c ( \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \eta^{\mu \nu}) \end{align}$$ für einige$c$die wir durch die obige (Vektor-)Relation einschränken $$\begin{align} i (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}) &= [\gamma^a, \Sigma^{\mu \nu}] \\ &= c [\gamma^a, 2( \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \eta^{\mu \nu})] \\ &= 2 c [\gamma^a, \gamma^{\mu} \gamma^{\nu}] \\ &= 2 c ( \gamma^{\mu} [\gamma^a,\gamma^{\nu}] + [\gamma^a, \gamma^{\mu}] \gamma^{\nu}) \\ &= 2 c [ \gamma^{\mu} 2( \gamma^a \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu}) + 2( \gamma^a \gamma^{\mu} - \eta^{a \mu}) \gamma^{\nu}] \\ &= 4 c [ \gamma^{\mu} ( \gamma^a \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu}) + ( \gamma^{\mu} \gamma^{a} + 2 \eta^{a \mu} - \eta^{a \mu}) \gamma^{\nu}] \\ &= 4 c (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}). \end{align}$$ Dies ergibt das Ergebnis$c = i/4$. Der Generator von Lorentz-Transformationen von Gammamatrizen ist $$\begin{align} \Sigma^{\mu \nu} &= \dfrac{i}{4} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}] \\ &= \dfrac{i}{2}(\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \eta^{\mu \nu}) \ \ \text{i.e.} \\ S &= I - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (\frac{i}{4} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]) \\ &= I + \dfrac{1}{8} \omega_{\mu \nu} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]. \end{align}$$ Unter Verwendung der Tatsache, dass sich die Gammamatrizen als Vektor unter der Spinordarstellung einer infinitesimalen Lorentz-Transformation transformieren, $$\begin{align} [\Sigma^{\mu \nu}, \gamma^{\rho}] = i (\gamma^{\mu} \eta^{\nu \rho} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \rho}) \end{align}$$ Wir können zeigen, dass die Spinor-Darstellung einer Lorentz-Transformation die Kommutierungsbeziehungen der Lorentz-Algebra erfüllt, da für$\rho \neq \sigma$ $$\begin{align} [\Sigma^{\mu \nu},\Sigma^{\rho \sigma}] &= \frac{i}{2}[\Sigma^{\mu \nu},\gamma^{\rho} \gamma^{\sigma}] \\ &= \frac{i}{2}([\Sigma^{\mu \nu},\gamma^{\rho} ] \gamma^{\sigma} + \gamma^{\rho} [\Sigma^{\mu \nu}, \gamma^{\sigma}]) \\ &= \frac{i}{2}\{ i (\gamma^{\mu} \eta^{\nu \rho} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \rho}) \gamma^{\sigma} + \gamma^{\rho} i (\gamma^{\mu} \eta^{\nu \sigma} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \sigma}) \} \\ &= - \frac{1}{2}\{ \gamma^{\mu} \eta^{\nu \rho} \gamma^{\sigma} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \rho} \gamma^{\sigma} + \gamma^{\rho} \gamma^{\mu} \eta^{\nu \sigma} - \gamma^{\rho} \gamma^{\nu} \eta^{\mu \sigma} \} \\ &= \frac{i}{2}\{ \eta^{\nu \rho} (2 \Sigma^{\mu \sigma} + \eta^{\mu \sigma}) - \eta^{\mu \rho} (2 \Sigma^{\nu \sigma} - \eta^{\nu \sigma}) + (2 \Sigma^{\rho \mu} - \eta^{\rho \mu}) \eta^{\nu \sigma} - (2 \Sigma^{\rho \nu}) - \eta^{\rho \nu}) \eta^{\mu \sigma} \} \\ &= i ( \eta^{\nu \rho} \Sigma^{\mu \sigma} - \eta^{\mu \rho} \Sigma^{\nu \sigma} + \Sigma^{\rho \mu} \eta^{\nu \sigma} - \Sigma^{\rho \nu} \eta^{\mu \sigma} ). \end{align}$$ Diese Methode verallgemeinert aus$SO(3,1)$Zu$SO(N)$, siehe zB Kaku QFT Sec. 2.6, und der eigentliche Grund dafür ist, dass man versucht, projektive Darstellungen zu finden, die aufgrund der nicht-einfachen Verbundenheit dieser orthogonalen Gruppen entstehen. Bezüglich Ihrer Frage zu willkürlichen Metriken$g_{\mu \nu}$, diese Methode gilt für spezielle orthogonale Gruppen und entsteht aufgrund der nicht einfachen Verbundenheit von speziellen orthogonalen Gruppen. Sie können nicht auf beliebige Metriken verallgemeinert werden. Dies ist ein Problem, das in der Supergravitations- und Superstring-Theorie mit Veilbein umgangen werden kann.

Verweise:

1. Bjorken, JD und Drell, SD, 1964. Relativistische Quantenmechanik; CH. 2.
2. Kaku, M., 1993. Quantenfeldtheorie: eine moderne Einführung. Oxford Univ. Drücken Sie; Sek. 2.6.
3. Tong, Anmerkungen zur Quantenfeldtheorie http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html .
4. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/D18S.pdf
5. Tut$GL(N,\mathbb{R})$eigene Spinordarstellung? Welche Gruppe ist ihre Deckgruppe? (Kakus QFT-Lehrbuch)

Ich möchte wissen, ob wir eine willkürliche Metrik nehmen$g_{\mu\nu}$auf etwas Platz$V$, werden die Generatoren als definiert$S^{\mu\nu}$Generieren Sie eine Lie-Gruppe, deren Elemente Transformationen sind$V$die das innere Produkt erhalten, das der Metrik entspricht?

Ja. Das Ergebnis wird als "Spin"-Gruppe bezeichnet . Eine gute Übersicht bietet dieses Papier .

Im Allgemeinen werden Clifford-Algebren aus einem beliebigen Vektorraum erstellt$V$(über ein Feld$\mathbb{F}$) und eine quadratische Norm$Q : V \to \mathbb{F}$, Wo$\mathbb{F}$wird normalerweise (sicherlich von Physikern) als beides angesehen$\mathbb{R}$oder$\mathbb{C}$. Wenn Sie eine Metrik haben, ist das eine etwas stärkere Aussage als nur eine quadratische Norm, also können Sie sie sicherlich verwenden, um die Clifford-Algebra zu konstruieren – indem Sie die Norm als definieren$Q(v) = g_{\mu \nu} v^\mu v^\nu$. Wenn Sie andererseits die Norm haben, können Sie sie verwenden, um das Skalarprodukt zwischen zwei beliebigen Vektoren zu definieren$v$Und$w$durch Polarisierung :$g(v, w) = \frac{1}{2}[Q(v+w) - Q(v) - Q(w)]$. Das geht natürlich nur, wenn man durch dividieren kann$2$, was nicht bei allen Feldern der Fall ist. Andererseits kann ich mich nicht erinnern, jemals eine nützliche Anwendung der Clifford-Algebra mit einem anderen Feld als gesehen zu haben$\mathbb{R}$oder$\mathbb{C}$.

Im Fall der Raumzeit ist der Vektorraum nur die Menge von$\gamma^\mu$Vektoren, die nicht als komplexe Matrizen betrachtet werden sollten, sondern nur als die üblichen Basisvektoren:$\hat{t}, \hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$. Dieser Ansatz wird gewöhnlich als geometrische Algebra bezeichnet . Das Feld sollte eigentlich genommen werden$\mathbb{R}$(weil die komplexe Struktur, die wir normalerweise in der Quantenmechanik verwenden, tatsächlich automatisch in der Clifford-Algebra auftaucht). Was Sie erhalten, wird als Raumzeitalgebra bezeichnet .

Dieselbe Logik kann auf andere Räume jeder Dimension und Signatur (einschließlich unbestimmter und entarteter Signaturen) ausgedehnt werden. Zwei beliebige Vektoren in der Clifford-Algebra können miteinander multipliziert und so das antikommutative Produkt konstruiert werden – das Ergebnis wird Bivektor genannt. Die Menge aller Bivektoren bildet die$\mathfrak{spin}$Algebra, wo das Produkt nicht nur das Clifford-Produkt ist, sondern sein Kommutator. Allgemeiner können wir jede gerade Anzahl von Vektoren nehmen und ihr Produkt nehmen. Die invertierbaren Elemente dieser Form geben uns die Spin-Gruppe, die durch Potenzierung mit den Bivektoren verwandt ist (ähnlich wie die Lie-Gruppe mit der Lie-Algebra verwandt ist). Und sie transformieren Vektoren durch Konjugation, was natürlich das innere Produkt invariant lässt. Das ist also die Antwort auf Ihre Frage.

Wir haben auch eine Art Umkehrung zu obigem:

Jede Lie-Algebra kann als Bivektor-Algebra dargestellt werden; daher kann jede Lie-Gruppe als Spingruppe dargestellt werden.

Dieses Ergebnis finden Sie hier . Obwohl sie im Allgemeinen eine Art "verdoppelte" Clifford-Algebra verwenden, ist dies nicht immer notwendig. Dieses Papier gibt einen guten Überblick über diese Themen (ebenso wie das über Spin-Gruppen, wenn auch nicht so detailliert).