Invarianz unter Boosts, aber nicht Rotationen?

Mir ist bewusst, dass es 6 unabhängige infinitesimale Lorentz-Transformationen gibt, die in 3 Rotationen und 3 Boosts unterteilt werden können. Ist es möglich, dass eine Quantenfeldtheorie unter den Boosts invariant ist, aber nicht unter den Rotationen?

Nein, die Lie-Algebra lässt sich so nicht trennen. Der Kommutator von zwei Boosts ist eine Rotation.
Ich weiß also, dass der Kommutator von zwei Boosts eine Rotation ist, und ich vermutete, dass dies der Schlüssel dazu war, aber ich kann nicht genau sehen, warum das dies ausschließt

Antworten (2)

Jede Quantenfeldtheorie hat eine Symmetriegruppe , unter der ihre Lagrange-Funktion invariant ist. Wie jede Gruppe muss sie geschlossen werden. Die Boosts sind nicht unter Komposition geschlossen, können also selbst keine Symmetriegruppe bilden.

Jede Rotation kann durch eine Zusammensetzung von vier Boosts erreicht werden. Wenn also jeder Boost die Lagrange-Invariante verlässt, wird dies auch die resultierende Rotation tun.

Um diese und die folgende Antwort weiter zu ergänzen, sollte beachtet werden, dass es Quantenfeldtheorien gibt, die unter SO (3) invariant sind, aber nicht unter Boosts (typischerweise Systeme mit kondensierter Materie).
@IEP Guter Punkt - die drei räumlichen Rotationen in einem bestimmten Rahmen sind unter Komposition geschlossen, daher ist die SO (3) -Rotationssymmetrie eine vollkommen gute Symmetriegruppe für eine nichtrelativistische Theorie.

Um die Antwort von tparker zu ergänzen, dass die Boosts selbst nicht unter Komposition geschlossen sind, können Sie dies entweder durch direkte Berechnung beweisen - nehmen Sie das Produkt zweier Boost-Matrizen und Sie können zeigen, dass die polare Zerlegung des Produkts im Allgemeinen ein Boost ist, der mit a zusammengesetzt ist nichttriviale Rotation - oder der bei weitem einfachste Weg, dies zu beweisen, ist die Lie-Korrespondenz - siehe Rossmann, "Lie Theory- an Introduction through Linear Groups", Abschnitt 2.5. Hier erfahren wir, dass die verbundenen analytischen Untergruppen jeder verbundenen Lie-Gruppe bijektiv den Lie-Unteralgebren der Lie-Algebra der Gruppe entsprechen. Wir müssen also nur bezeugen, dass die Lie-Klammer von zwei infinitesimalen Boosts eine infinitesimale Rotation ist, um zu beweisen, dass die kleinste Gruppe, die die Boosts enthält, notwendigerweise auch Rotationen enthalten muss.

Tatsächlich führt diese Nichtschließung zu dem Phänomen der Thomas-Präzession / Wigner-Rotation.

Lie-Algebren entsprechen eigentlich nur bijektiv einfach zusammenhängenden Lie-Gruppen, nicht allen zusammenhängenden Lie-Gruppen. S U ( 2 ) und S Ö ( 3 ) sind nicht isomorph, aber ihre Lie-Algebren sind es. Sie sind nur lokal isomorph, unterscheiden sich aber in ihrer globalen topologischen Struktur und haben dieselbe universelle Hülle S U ( 2 ) , die per Definition einfach verbunden ist.
@tparker Nein, das ist eine andere, kategorische Aussage - dass Sie einfach verbundene berücksichtigen müssen, um den Funktor "Lie" (Zuordnung von Gruppen zu Algebren als Kategorien) bijektiv zu machen. Die Lie-Korrespondenz sagt etwas anderes aus: Wenn eine bestimmte verbundene Lie-Gruppe gegeben ist, entsprechen ihre verbundenen Lie-Untergruppen eins zu eins den Lie-Unteralgebren der Algebra dieser bestimmten Gruppe. (Ersetzen Sie „Lügen-Untergruppe“ durch „analytische Untergruppe“, wenn Sie einer der vielen Menschen sind, die darauf bestehen, das Wort „Lügen-Untergruppen“ ausschließlich für eingebettete Lügen-Untergruppen zu reservieren :) )
Invarianz unter Boosts, aber nicht Rotationen?
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