Wie zeigt man die Invariante Natur eines Wertes durch die gruppentheoretischen Darstellungen?

Nehmen wir Dirac Spinor Ψ ( X ) . Es verwandelt sich als ( 1 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 2 ) Darstellung der Lorentz-Gruppe:

Ψ = ( ψ A κ A ˙ ) , Ψ ' = S ^ Ψ .
Lass uns Spinor haben Ψ ¯ ( X ) , die sich auch als transformiert ( 1 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 2 ) , aber als cospinor:
Ψ ¯ = ( κ A ψ A ˙ ) , Ψ ¯ ' = Ψ ¯ S ^ − 1 .
Wie man das formal zeigt
Ψ ¯ Ψ = ich N v ?
Ich meine das wenn Ψ Ψ ¯ bezieht sich auf das direkte Produkt (korrigieren Sie es bitte, wenn ich den Fehler gemacht habe)
[ ( 1 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 2 ) ] ⊗ [ ( 1 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 2 ) ] ,
welcher Gruppenoperation entspricht Ψ ¯ Ψ ?

Diese Frage ist eng mit dieser verbunden .

Antworten (3)

Sie müssen das Tensorprodukt berechnen und finden eine direkte Summe verschiedener Beiträge

[ ( 1 / 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 / 2 ) ] ⊗ [ ( 1 / 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 / 2 ) ] = ( ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ( 1 / 2 , 0 ) ) ⊕ ( ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ( 0 , 1 / 2 ) ) ⊕ ( ( 0 , 1 / 2 ) ⊗ ( 1 / 2 , 0 ) ) ⊕ ( ( 0 , 1 / 2 ) ⊗ ( 0 , 1 / 2 ) ) = ( 0 , 0 ) ⊕ ( 1 , 0 ) ⊕ ( 1 / 2 , 1 / 2 ) ⊕ ( 1 / 2 , 1 / 2 ) ⊕ ( 0 , 1 ) ⊕ ( 0 , 0 )
Die Zustände können nun klassifiziert werden:

  • ( 0 , 0 ) ist ein Skalar oder Pseudoskalar, dh die ψ ¯ ψ Sie suchen sowie ψ ¯ γ 5 ψ
  • ( 1 / 2 , 1 / 2 ) ist die Vektor/Pseudovektor-Komponente ψ ¯ γ μ ψ oder ψ ¯ γ μ γ 5 ψ
  • (1, 0) und (0, 1) sind die (Anti-)Selbst-Dualteile des Tensors ψ ¯ σ μ v ψ

Alle diese transformieren sich wohldefiniert unter Lorenty-Boosts. Der ( 0 , 0 ) Teil sagt Ihnen, dass sich diese Wiederholung weder unter der Links-Chiralität noch unter der Rechts-Chiralität umwandeln wird S l ( 2 ) nach denen Sie die Wiederholungen klassifizieren.

Bearbeiten: Lassen Sie mich hinzufügen, dass das Verteilungsgesetz, das ich oben verwendet habe, um von der ersten in die zweite Zeile zu gelangen, einer der Gründe ist, warum wir von einer "direkten Summe" gegenüber einem "direkten Produkt" sprechen.

Aber wie kann man diesen Ausdruck zusammenfalten in ( 0 , 0 ) ? Und was sind die Unterschiede zw Ψ ¯ Ψ Und Ψ Ψ ¯ (siehe hier: physical.stackexchange.com/questions/104688/… )?
In ψ ¯ ψ = ∑ a ψ ¯ a ψ a Sie kontrahieren die Spinor-Indizes zwischen den beiden Spinoren. Es ist in diesem Sinne ein Bispinor-Skalar der Lorentz-Gruppe. ψ ψ ¯ = ψ a ψ ¯ β ist eine Matrix im Spinorraum.
Also werde ich in beiden Fällen mit dem direkten Produkt von Repräsentationen arbeiten und in der Gruppensprache (die in Ihrer Antwort verwendet wurde) gibt es keine Unterschiede zwischen diesen Fällen? Muss ich Tag schreiben ( 1 2 , 0 ) C ⊕ ( 0 , 1 2 ) C , was entspricht Ψ ¯ und bedeutet, dass sich seine Komponenten als Cospinoren transformieren?
Und noch eine (die mit der vorherigen zusammenhängt) Frage: für den Fall Ψ ¯ Ψ der entsprechende Wert ist Matrixrang null, aber für Groß- und Kleinschreibung Ψ Ψ ¯ Der entsprechende Wert bezieht sich auf den zweiten Rang der Matrix. Wie sieht es in beiden Fällen mit der direkten Produktnotation aus?
ψ ψ ¯ kein Tensorprodukt von Lorentz-Darstellungen ist, gibt es einfach keine Möglichkeit, ein Objekt zu bauen, das kein Skalar in Sinor-Koordinaten und dennoch eine Darstellung der Lorentz-Algebra ist. Dies ist analog zu der Erkenntnis, dass die Addition zweier halbzahliger Drehimpulse immer ganzzahlige Ergebnisse liefert, dh 1 / 2 ⊗ 1 / 2 = 0 ⊕ 1 . Es gibt keine Möglichkeit, ein halbzahliges Ergebnis zu erstellen. Das Objekt ψ ψ ¯ existiert, sollte aber unter Lorentz-Transformationen nicht richtig transformiert werden.

Wenn wir davon ausgehen

Ψ ' = S ^ Ψ

Und

Ψ ¯ ' = Ψ ¯ S ^ − 1 ,

Daraus folgt, dass sich das Produkt der beiden zu transformiert

( Ψ ¯ Ψ ) ' = Ψ ¯ ' Ψ ' = Ψ ¯ S ^ − 1 S ^ Ψ = Ψ ¯ Ψ ,

was eine Folge davon ist

S ^ − 1 S ^ = 1 .

Meine Frage lautete: "...ich meine das wenn Ψ Ψ ¯ bezieht sich auf das direkte Produkt, was der Gruppenoperation entspricht Ψ ¯ Ψ ?....". Ich möchte also eine Gruppenoperation (wie ein direktes Produkt) erhalten, die mir das zeigt Ψ ¯ Ψ ≡ ( 0 , 0 ) . Nicht durch die Sprache der Transformationsmatrizen. Entschuldigen Sie meine unverständliche Erklärung.

kurze Antwort wenn S ^ − 1 S = ICH

Ich kann Ihnen ein allgemeines Beispiel dafür geben ψ † ψ nicht unveränderlich.

denn für Dirac Spinor ψ Dabei gelten die folgenden Transformationsregeln

ψ ( X ) → S [ Λ ] ψ ( Λ − 1 X ) = S [ Λ ] ψ ( X ' ) ψ † ( X ) → ψ † ( Λ − 1 X ) S [ Λ ] †
So ψ † ψ → ψ † ( Λ − 1 X ) S [ Λ ] † S [ Λ ] ψ ( Λ − 1 X ) ist invariant genau dann wenn S [ Λ ] † S [ Λ ] = ICH

jedoch für den Fall, wo S [ Λ ] durch die Clifford-Algebra gebildet werden, kann gezeigt werden, dass dies nicht der Fall ist. Ich bin nicht in der Lage, Ihnen zu zeigen, dass der Dirac-Adjoint diese Bedingung erfüllt.

Wie zeigt man die Invariante Natur eines Wertes durch die gruppentheoretischen Darstellungen?
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