Lorentz-Spinoren von SO(n,1)SO(n,1)SO(n,1) und konforme Spinoren von SO(n,2)SO(n,2)SO(n,2)

  • Es wäre toll, wenn mir jemand (kurz genug!) eine Referenz geben könnte, die die (Spinor-)Darstellungstheorie der Gruppen erklärt S Ö ( N , 1 ) Und S Ö ( N , 2 ) .

Ich habe ein paar Standardbücher zur Darstellungstheorie durchsucht und konnte keine finden.

  • Genauer gesagt würde ich gerne wissen, wie ein Lorentz-Spinor von S Ö ( N − 1 , 1 ) (sagen Q ) wird zu einem konformen Spinor von "vervollständigt". S Ö ( N , 2 ) (sagen v ) indem man sagt,

v = ( Q , C S ¯ )

Wo C ist ein "Ladungskonjugationsoperator" und S ist wohl ein anderer S Ö ( N − 1 , 1 ) Spinner.

Gibt es eine natürliche Darstellung der Clifford-Algebra ( Γ ), die hier herumlauern, in Bezug auf die ich den "Ladungskonjugationsoperator" als definieren kann C so dass C − 1 Γ C = − Γ T ? (... im Allgemeinen gibt eine Darstellung der Clifford-Algebra auch eine Darstellung von S Ö ( N , 1 ) ..Ich würde gerne wissen, wie diese allgemeine Idee hier funktionieren könnte ...)

  • Einige der anderen Aspekte dieser Gruppentheorie, die ich wissen möchte, sind eine Erklärung für Tatsachen wie:

    • S P ( 4 ) ist das gleiche wie S Ö ( 3 , 2 ) , und die Grundlage von S P ( 4 ) ist der Spinor von S Ö ( 3 , 2 )
    • S U ( 2 , 2 ) ist dasselbe wie SO(4,2) und die Grundwelle von S U ( 2 , 2 ) ist der Spinor von S Ö ( 4 , 2 )

    (...nur zwei "Fakten" in der Hoffnung, dass die Leute mich auf etwas (hoffentlich kurze!) Literatur hinweisen können, die die Systematik erklärt, von der die obigen wahrscheinlich zwei Beispiele sind...)

Antworten (1)

Albert Crumeyrolle, "Orthogonale und symplektische Clifford-Algebren", Kluwer, Dordrecht, 1990.

Man findet für die Clifford-Algebra C ( M , N ) mit Basisvektoren γ μ dass die Elemente 1 2 ( γ μ γ v − γ v γ μ ) eine zu isomorphe Lie-Algebra erzeugen S Ö ( M , N ) . Mit zwei neuen Basisvektoren in C ( M + 1 , N + 1 ) die orthogonal zu den sind γ μ , γ P Und γ M , sagen,

  • 1 2 ( γ P + γ M ) γ μ erzeugen, was als Übersetzungen genommen werden kann,
  • 1 2 γ P γ M erzeugt, was als Dilatationen angesehen werden kann,
  • Und 1 2 ( γ P − γ M ) γ μ erzeugen, was als spezielle konforme Transformationen angesehen werden kann.

Die Spinoren sind Ideale der Clifford-Algebren, deren genaue Struktur – reell, komplex oder quaternionisch – von der Dimensionalität abhängt und davon, ob man über den reellen oder über dem komplexen Körper arbeitet.

Die Crumeyrolle ist nicht für Physiker geschrieben, aber die zugrunde liegende Struktur ist die gleiche.

Ist dieses Buch von Crumeyrolles Buch Rede von Repräsentationstheorie S Ö ( N , 1 ) Und S Ö ( N , 2 ) ? (... Ich frage dies ausdrücklich, da selbst Standardbücher zur Spinor-Darstellung nicht von diesen Klassen von Gruppen sprechen..)
Tut mir leid, Anirbit, daran kann ich mich nicht erinnern, und ich habe keine Kopie. Ich habe vor fast 20 Jahren eine Masterarbeit über Clifford-Algebren (Teilchenphysik, aber in einer mathematischen Fakultät gemacht) geschrieben, für die ich die Crumeyrolle damals auf dem mathematischen Niveau, zu dem ich in der Lage war, als den hilfreichsten Text empfand, auch weil es so war hielten oft ziemlich explizite Präsentationen. Die Crumeyrolle diskutiert die Gruppen SO(m,n) indirekt insofern, als sie die Spin- und Pin-Gruppen diskutiert. Wenn Sie jedoch explizite Mathematik wünschen, die sich eher mit den Lie-Gruppen als mit den Lie-Algebren befasst, sind Sie meiner Meinung nach mit einem anderen Buch besser beraten.
Lorentz-Spinoren von SO(n,1)SO(n,1)SO(n,1) und konforme Spinoren von SO(n,2)SO(n,2)SO(n,2)
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