Quantisierung des masselosen Neutrinofeldes

Betrachtet man ein masseloses Neutrino oder Anti-Neutrino (im ganzen Beitrag betrachte ich Neutrinos bzw. Anti-Neutrinos als masselos), so wird dies durch die Weyl-Gleichung beschrieben:

$$\overline{\sigma}^{\mu}\partial_\mu \chi_a =0$$ wenn es linkshändig ist und Neutrino (also Transformation gem$D^{(\frac{1}{2},0)}$)

oder

$$\overline{\sigma}^{\mu}\partial_\mu \xi^\dagger_\dot{b} =0$$ wenn es rechtshändig und Anti-Neutrino ist (also transformierend gem$D^{(0,\frac{1}{2})}$)

Stattdessen wird ein Dirac-Teilchen durch einen Bispinor (4-Spinor) beschrieben.

$$\left(\begin{array}{c} \chi_a \\ \xi^{\dagger}_\dot{b} \end{array} \right)$$ die 4 Freiheitsgrade hat: (Spin-up-Teilchen; Spin-down-Teilchen; Spin-up-Antiteilchen; Spin-down-Antiteilchen) eine Lösung der Weyl-Gleichung hat offenbar nur einen Freiheitsgrad, nämlich die Helizität ist an den Neutrino-Typ (Neutrino oder Anti-Neutrino) gebunden.

Die Weyl-Lösung ist jedoch 2-komponentig. Schlimmer noch, laut Landau/Lifschitz Band 4 (ich habe auch in Srednicki nach einer solchen Entwicklung gesucht, konnte sie aber nicht finden) lässt sich der entsprechende Feldoperator der freien Weyl-Gleichung in positive und negative Frequenzlösungen entwickeln:

$$\chi_a = \sum_p (U(p)_a a_p e^{ipx} + V(p)_a b_p^\dagger e^{-ipx})$$

Ich verwende Großbuchstaben für die 2-Spinoren$U(p)$Und$V(p)$um sie von den bekannten Bispinorlösungen der Dirac-Gleichung zu unterscheiden$u(p)$Und$v(p)$.

F: Wie ist eine solche Entwicklung in positiven und vor allem negativen Frequenzlösungen möglich? Es scheint das in einer Lösung zu sein$\chi_a$, das ausschließlich Neutrinos beschreibt, mischen sich Anti-Neutrinos durch das Auftreten der negativen Frequenzlösungen ein. Das ist eigentlich der Punkt, den ich überhaupt nicht verstehe.

F: Was ist die Beziehung von$U(p)_a$und darüber hinaus$V(p)_a$mit den Dirac-Lösungen$u(p)$Und$v(p)$?

F: Insbesondere wie wird das gewährleistet$V(p)_a$bleibt ein linkshändiger 2-Spinor, wird also nicht zu einem rechtshelikalen 2-Spinor (was sich offensichtlich als$V(p)$ist der Koeffizient der negativen Frequenzlösung)

Ich halte dieses Detail für wichtig, da sich der Feldoperator bei der hermiteschen Konjugation scheinbar in einen rechtshändigen 2-Spinor verwandelt:

$$\chi^\dagger_\dot{a} = \sum_p (U(p)_\dot{a} a^\dagger_p e^{-ipx} + V(p)_\dot{a} b_p e^{ipx})$$

Eine solche Darstellungsänderung tritt nicht auf, wenn die hermitesch Konjugierte einer Bispinor-Dirac-Lösung genommen wird, da sich die hermitesch Konjugierte einer Bispinor-Dirac-Lösung in eine Darstellung umwandelt, die der ursprünglichen (Standard-Bispinor) entspricht.