Obwohl ich mit nicht-relativistischer Quantenmechanik ziemlich vertraut bin, habe ich erst kürzlich begonnen, mich mit relativistischer QM zu befassen, wobei meine Hauptreferenz Sakurais "Advanced Quantum Mechanics" ist (Kapitel 3 speziell, das sich mit Spin-1/2-Teilchen befasst). Ich glaube, ich habe die grundlegenden mathematischen Argumente dafür verstanden, warum der Zustand solcher Teilchen in einem relativistischen Regime durch ein Vier-Komponenten-Objekt (den Dirac-Spinor) beschrieben werden muss. Was ich nicht verstehe, ist, wie man zum Pauli-Schrödinger-Zweikomponenten-Spinor "zurückkehrt". Konkreter: Wie finde ich bei einem Dirac-Spinor den entsprechenden Pauli-Spinor?
Aus Sakurais Worten weiß ich das bereits im nichtrelativistischen Regime Die oberen beiden Komponenten des Dirac-Spinors stimmen mit dem Pauli-Schrödinger-Spinor überein, und wenn ich das richtig verstehe, könnte ich (in diesem Regime) die untere Hälfte des Spinors "wegwerfen" und den gewünschten Zweikomponentenzustand erhalten. Aber im allgemeinen Fall sehe ich keine Hinweise darauf, wie ich eine solche Korrespondenz finden kann, und selbst WENN es eine solche Korrespondenz gibt.
Nun, meine erste Vermutung wäre, dass, wenn die Geschwindigkeiten relativistisch werden, die anderen beiden Komponenten vielversprechender und relevanter werden und Sie die 2-Komponenten-Beschreibung insgesamt aufgeben müssten. Mein Problem dabei ist, dass sie in diesem Artikel von A. Peres, PF Scudo und DR Terno: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.88.230402 eine relativistische Behandlung eines Spin- 1/2-Teilchen unter Verwendung von Zweikomponenten-Wellenfunktionen, die mit dem üblichen nicht-relativistischen Pauli-Spinor zusammenzufallen scheinen. Tatsächlich gibt die Lehrbuchreferenz des Artikels (F. Halperns "Special Relativity and Quantum Mechanics") "zwei mal zwei Darstellungen" der Lorentz-Transformationen, die SU(2)-Matrizen zu sein scheinen, die auf eine Zweikomponenten-Wellenfunktion einwirken . Pereset al.scheinen es zumindest auf diese Weise zu verwenden.
Also, was übersehe ich hier?
Ich denke, Ihr letzter Absatz trifft hier wirklich den entscheidenden Punkt; Im formalen Sinne können Sie absolut nicht von der vierkomponentigen Spinorwellenfunktion zu einer zweikomponentigen Funktion hinuntergehen. Aber wie Sie auch richtig darauf hingewiesen haben, werden die negativen Energiekomponenten der Spinorwellenfunktion in der nichtrelativistischen Grenze unterdrückt . Also werfen wir diese Terme einfach weg, da sie nichts mehr für uns tun, und wir erhalten die Pauli-Schrödinger-Gleichung genau so, wie Sie gesagt haben. Soweit wir also die relativistische Grenze verlassen, IST der Pauli-Spinor der Dirac-Spinor, oder zumindest die Stücke, die positiven Energieeigenwerten entsprechen und nicht unterdrückt werden. Ich habe in letzter Zeit viele dieser Details selbst ausgearbeitet, also hoffe ich, dass das hilft.