Hamilton-Operator vs. nullte Komponente des Impuls-Vier-Vektors

Question

Hamilton-Operator vs. nullte Komponente des Impuls-Vier-Vektors

Nikolaus Engelbert

Die nullte Komponente des Viererimpulses eines Teilchens ist die Energie dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit. Für ein freies Masseteilchen $m$ , das ist

P_{0} = \frac{E_{P}}{C} = \sqrt{{\vec{P}}^{2} + M^{2} C^{2}} .

$p_0 = \frac{E_{p}}{c} = \sqrt{\vec{\bf p}^2 + m^2c^2}.$

Nun kann die Dirac-Gleichung für ein freies Elektron in die Hamilton-Form gebracht werden

\hat{H} ψ = ich ℏ \frac{\partial ψ}{\partial T}

$\hat{H} \psi = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}$

mit

\hat{H} = - ich C ℏ a \cdot \nabla + β M C^{2} .

$\hat{H} = -ic\hbar \mathbf{\alpha}\cdot\mathbf{\nabla} + \beta m c^2 .$

Meine Frage ist: Wenn der Hamilton-Operator immer noch als Energie zu interpretieren ist, sollte es dann nicht eine Entsprechung (Gleichheit, würde ich erwarten) zwischen diesem Hamilton-Operator und der Teilchenenergie geben, die durch die relativistische Dispersionsbeziehung gegeben ist?

Genauer gesagt, wenn ich die Impulse in der relativistischen Dispersionsbeziehung zu Operatoren befördere, sollte der resultierende Operator das nicht tun $\hat{p}_0$ gleich sein $\hat{H}/c$ ?

Bearbeiten: Meine Argumentation zu der Annahme, dass sie unterschiedlich sind, ist dieser Artikel: https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.89.052101 , in dem sie die definieren $\hat{p_0}$ genauso wie ich es getan habe (Gleichung 5 im Artikel) und sie rufen an $\hat{H}_0$ der Hamilton-Operator für freie Teilchen von Dirac und später erscheinen diese beiden Operatoren in derselben Gleichung, als ob sie verschiedene Dinge wären. In Gl. 8 geben sie die Energie-Subraumprojektoren an als:

{\hat{Λ}}^{\pm} = \frac{1}{2} (1 \pm \frac{{\hat{H}}_{0}}{C {\hat{P}}_{0}})

$\hat{\Lambda}^{\pm} = \frac{1}{2}\left(1 \pm \frac{\hat{H}_0}{c \hat{p}_0}\right)$

Bearbeiten 2: Arvix-Version des genannten Artikels: https://arxiv.org/abs/1403.0550

Prahar

p^{0}

$p^0$ ist der Hamiltonoperator.

Richard Meyer

Prahar hat recht, aber allgemeiner sieht man Band 1 von Weinbergs Quantentheorie der Felder für eine systematische Entwicklung.

Nikolaus Engelbert

@RichardMyers Vielen Dank für die Antworten, aber ... in diesem Artikel scheinen sie zu verwenden

{\hat{p}}_{0}

$\hat{p}_0$ Und

{\hat{H}}_{0}

$\hat{H}_0$ mit unterschiedlicher Bedeutung. Ich werde die Frage bearbeiten und diese zusätzlichen Informationen hinzufügen.

Javier

Der Artikel ist Paywalled, ziehen Sie in Betracht, auf eine arxiv-Version zu verlinken.

Nikolaus Engelbert

Die Frage wurde so bearbeitet, dass sie den arxiv-Link enthält.

Antworten (1)

Hamilton-Operator vs. nullte Komponente des Impuls-Vier-Vektors

Prahar hat recht, aber allgemeiner sieht man Band 1 von Weinbergs Quantentheorie der Felder für eine systematische Entwicklung.
@RichardMyers Vielen Dank für die Antworten, aber ... in diesem Artikel scheinen sie zu verwenden $\hat{p}_0$ Und $\hat{H}_0$ mit unterschiedlicher Bedeutung. Ich werde die Frage bearbeiten und diese zusätzlichen Informationen hinzufügen.
Der Artikel ist Paywalled, ziehen Sie in Betracht, auf eine arxiv-Version zu verlinken.
Die Frage wurde so bearbeitet, dass sie den arxiv-Link enthält.

Noiralef · Answer 1

Die Art und Weise, wie ich die Notation * im verlinkten Artikel verstehe, ist wie folgt: $\hat p_0$ ist ein Operator, der als fungiert $\sqrt{\hat p^2 + m^2c^2}$ auf jeder Komponente des Spinors und sollte vielleicht geschrieben werden als $\hat p_0 = \sqrt{\hat p^2 + m^2c^2}\, \mathbb 1_4$ . $\hat H_0$ ist der Standard-Dirac-Hamilton-Operator (z $\vec A = 0$ Und $\Phi = 0$ ), der natürlich die Spinorkomponenten mischt. Die beiden Betreiber $\hat H_0$ Und $c\hat p_0$ sind also tatsächlich verschieden.

Beachten Sie jedoch, dass das Quadrat beider Operatoren gleich ist:

(C {\hat{P}}_{0})^{2} = {\hat{H}}_{0}^{2} = {\hat{P}}^{2} C^{2} + M^{2} C^{4} .

$(c\hat p_0)^2 = \hat H_0^2 = \hat p^2 c^2 + m^2 c^4 .$ Wenn der klassische Ausdruck

E = \sqrt{p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}}

$E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}$ "quantisiert" ist, ist a priori nicht klar, ob die resultierende Gleichung sein sollte

ich ℏ \partial_{T} | ψ ⟩ = C {\hat{P}}_{0} | ψ ⟩, ich ℏ \partial_{T} | ψ ⟩ = {\hat{H}}_{0} | ψ ⟩, - ℏ^{2} \partial_{T}^{2} | ψ ⟩ = ({\hat{P}}^{2} C^{2} + M^{2} C^{4}) | ψ ⟩

$\mathrm i\hbar \partial_t |\psi\rangle = c\hat p_0 |\psi\rangle , \quad \mathrm i\hbar \partial_t |\psi\rangle = \hat H_0 |\psi\rangle , \quad -\hbar^2 \partial_t^2 |\psi\rangle = (\hat p^2 c^2 + m^2 c^4) |\psi\rangle$ oder möglicherweise etwas ganz anderes. (Beachten Sie, dass die zweite die Dirac-Gleichung und die dritte die Klein-Gordon-Gleichung ist.) Die Dirac- und die KG-Gleichung sind gut bekannt; Ich verweise auf diese Frage für eine Diskussion über die Mängel der ersten Version.

*Ich weiß nicht, ob diese Notation Standard ist.

Hamilton-Operator vs. nullte Komponente des Impuls-Vier-Vektors

Nikolaus Engelbert

Prahar

Richard Meyer

Nikolaus Engelbert

Javier

Nikolaus Engelbert

Antworten (1)

Noiralef

Warum werden allgemeine Wellenfunktionen durch Energieeigenfunktionen ausgedrückt?

Von der relativistischen Gleichung zum Finden von Dirac-Matrizen

Warum ist der triviale analoge Ausdruck für Feynmans Schachbrettansatz für die Dirac-Gleichung in 3 + 1-Dimensionen (wie unten beschrieben) nicht korrekt?

Dirac-Gleichung vs. relativistischer Hamilton-Operator

Beschreiben von Energien mit einem seltsamen Hamiltonian

Warum wird die Dirac-Gleichung nicht für Berechnungen verwendet?

Teilchen mit Spin im einheitlichen Magnetfeld

Zwei Ausdrücke für Erwartungswert der Energie

Ableitung der 000-Komponente des 4-Impulses unter Verwendung der relativistischen Lagrangefunktion

Die Erhöhung eines Potentials bewirkt eine Erhöhung des Energieniveaus