Der Wikipedia - Artikel hat eine Ableitung der Klein-Gordon-Gleichung. Es kommt zu diesem Schritt:
und fügt die zu erhaltenden QM-Operatoren ein
Der Artikel sagt dann
Dies ist jedoch ein umständlicher Ausdruck, da der Differentialoperator nicht unter dem Quadratwurzelzeichen ausgewertet werden kann. Außerdem ist diese Gleichung in ihrer jetzigen Form nichtlokal.
Um dies zu beheben, wird die erste Gleichung quadriert, anstatt sie zu erhalten
Danach werden die QM-Operatoren eingefügt und der Ausdruck ist vereinfacht zu erhalten
Ein paar Dinge, die ich nicht verstehe. Erstens, sind die Lösungen dieser Differentialgleichung nicht genau dieselben wie die Lösungen der ersten Differentialgleichung? Beide Seiten der Ausgangsgleichung wurden quadriert, daher scheint es mir, dass beide unabhängig von der jeweiligen Form der resultierenden Differentialgleichung genau denselben Lösungssatz haben sollten.
Zweitens, warum ist es umständlich, mit der ersten Differentialgleichung zu arbeiten? Es scheint tatsächlich einfacher zu sein, damit zu arbeiten, da der Operator unter der Quadratwurzel in Bezug auf eine Taylor-Reihe erweitert werden könnte und Sie dann eine Gleichung erster Ordnung in der Zeit haben.
Und zum Schluss, kann jemand näher erläutern, was nichtlokal bedeutet? Der verlinkte Artikel auf der Wikipedia-Seite hat mir nicht ganz geholfen, es zu verstehen.
Zweitens, warum ist es umständlich, mit der ersten Differentialgleichung zu arbeiten? Es scheint tatsächlich einfacher zu sein, damit zu arbeiten, da der Operator unter der Quadratwurzel in Bezug auf eine Taylor-Reihe erweitert werden könnte und Sie dann eine Gleichung erster Ordnung in der Zeit haben.
Nun, die Taylor-Reihen für Operatorausdrücke machen nur dann wirklich Sinn, wenn sie überall konvergieren (z. B. als Reihenausdruck sinnvoll)...modulo technische Details.
Die Quadratwurzel hat für keinen Operator einen schönen Reihenausdruck ... es funktioniert für normale Operatoren .
Was passiert also mit dieser Quadratwurzelversion der KG-Gleichung? Wir nehmen einfach die Fourier-Transformation des Ausdrucks
Beachten Sie dann, dass wir den Operator be haben . Also, hey, presto, nimm seine Quadratwurzel! Wir bekommen
Dann ... nun, dann ist es mühsam, damit zu arbeiten. Warum? Weil all unsere schönen Werkzeuge aus der linearen Algebra nicht wirklich gut funktionieren. Mein nächstes Werkzeug, Obszönität, bringt auch keine großen Ergebnisse :\
Nachtrag: Ich dachte, ich sollte einige Links dazu hinzufügen, weil es Leute gibt, die darüber recherchieren. (Diese von mir skizzierte Methode beschreibt die Behandlung der Quadratwurzel der Klein-Gordon-Gleichung mit Pseudodifferentialoperatoren . )
Ich bin mir sicher, dass Sie von dort aus den Verweisen folgen können, wohin Sie wollen.
Und zum Schluss, kann jemand näher erläutern, was nichtlokal bedeutet? Der verlinkte Artikel auf der Wikipedia-Seite hat mir nicht ganz geholfen, es zu verstehen.
So wie ich es verstehe (und jemand wird mich wahrscheinlich korrigieren, wenn ich falsch liege), bedeutet dies allgemein, dass das Feld an einem Punkt von seinem Wert an anderen räumlich getrennten Punkten abhängt. Es bohrt unser intuitives Verständnis von Ursache und Wirkung.
Wenn wir unendlich viele Ableitungen haben, bekommen wir dieses Problem. Warum?
Nun, betrachten wir einen Spezialfall: die Taylor-Entwicklung. Wir haben
Wo ist ein Ausdruck mit unendlich vielen Ableitungen. Wir erhalten dann eine Beziehung zwischen Werten an zwei verschiedenen Punkten ( Und ).
Allgemeiner könnten wir jeden Operator mit unendlich vielen Ableitungen betrachten, nicht nur .
Auf der rechten Seite haben wir eine Quadratwurzel eines Operators. Es ist möglich, die Quadratwurzel eines Operators (dh die Quadratwurzel einer Matrix) zu ziehen, und es gibt eine Reihe von Theorien in der linearen Algebra und der Spektraltheorie, die sich auf diese Möglichkeit beziehen, aber die Frage ist, wie dies physikalisch zu interpretieren ist, da a Matrix hat mehrere Quadratwurzeln, die selbst Matrizen sind.
Eine mögliche Interpretation ist eine Taylor-Reihenentwicklung, wie Sie richtig sagen, aber wir erhalten dann einen Hamilton-Operator mit Ableitungen beliebig hoher Ordnung. Die beiden Standardansätze bestehen offensichtlich darin, beide Seiten zu quadrieren und die Klein-Gordon-Gleichung zu erhalten oder einfach einen Hamilton-Operator vorzuschlagen, der im Impuls linear und gleich dem Quadrat der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung ist: Dies führt zur Dirac-Gleichung. Wenn Sie den letzteren Ansatz wählen, ist eine Lösung der Gleichung nicht nur eine Funktion und muss vier Komponenten haben.
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