Betrachten Sie die Klein-Gordon-Gleichung :
(ich) transformiert als (4,4)-Koordinate einen Tensor zweiter Stufe,
(ii) als vierte Komponente eines Vierervektors transformiert.
Könnte mir bitte jemand einen Beweis für diese beiden Aussagen geben?
ANMERKUNG 1). Alles, was ich über die Klein-Gordon-Gleichung weiß, ist das unter Lorentz-Transformationen invariant ist, dh wenn eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung ist, dann die neue Funktion erhalten durch Ersetzen der Gleichungen eines Lorentz-Boosts In ist wieder eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung.
ANMERKUNG 2). Bohm begründet die Behauptung (i) mit der Betrachtung der jeweiligen Lösung , für die wir bekommen
Eigentlich die Sie erwähnen die 4,4-Komponente des Spannungstensors des Feldes Klein-Gordon (KG). Im Folgenden verwende ich stattdessen den metrischen Tensor und identifizieren mit der 0,0-Komponente von . Bohm verwendet offenbar die andere Metrik Konvention. Darüber hinaus wird angenommen.
Man geht am besten von der Lagrange-Dichte des Komplexes KG aus: (Doppelt vorkommende Indizes werden summiert, d. h. Einstein-Summierungskonvention):
Für ein komplexes Feld Und gelten als unabhängige Variablen. Die Definition des Spannungstensors ist gegeben durch:
mit .
Setzt man den Ausdruck für die Lagrange-Dichte des KG-Feldes in die Definition des Spannungstensors ein, erhält man:
Die Tensor-Eigenschaft von ist ziemlich offensichtlich, wie die partiellen Ableitungen bzw. wie kovariante Vektoren transformieren und ist auch ein Tensor. Dies gilt insbesondere für die -Komponente:
Der 4-Impulsvektor Erträge:
Wo ist das vektorielle Hyperflächenelement, das durch Werte parametrisiert wird :
Wenn nun die Hyperfläche als Parameter gewählt wird kann verwendet werden:
so erhalten wir für diese spezielle Hyperfläche :
Das lässt sich zeigen auf einer anderen Hyperfläche betrachtet die in Bezug auf die ursprüngliche Hyperfläche Lorentz-transformiert ist hat den gleichen Wert, wenn er nach der allgemeineren Formel berechnet wird:
Aber aufgrund der kovarianten Schreibweise ist das klar ein 4-Vektor ist (aber das würde in der gekrümmten Raumzeit nicht mehr gelten) und insbesondere
die 0-Komponente des 4-Vektors (der Impuls 4-Vektor), die Energie des KG-Feldes.
JG
Maurizio Barbato