Erklärung der Gleichung, die einen fehlgeschlagenen Ansatz zur Relativierung der Schrödinger-Gleichung zeigt

Paul,

Dieses spezielle Schreiben des Problems in dem Artikel fand ich auch immer schlampig. Der verwirrendste Teil der Diskussion ist die Aussage "Die Kontinuitätsgleichung ist wie zuvor". Zunächst schreibt man die Kontinuitätsgleichung wie folgt:

$$\nabla \cdot J + \dfrac{\partial\rho}{\partial t} = 0$$

Obwohl der del- Operator als unendlich dimensional definiert werden kann, ist er häufig für drei Dimensionen reserviert, und daher bietet die Konstruktion des Satzes keine klare Interpretation. Wenn Sie den erhaltenen Strom nachschlagen, finden Sie die 4-Vektor-Version der Kontinuitätsgleichung:

$$\partial_\mu j^\mu = 0$$

Wichtig bei der Herleitung im Wikipedia-Artikel ist die Umrechnung der nicht zeitabhängigen Dichte in eine zeitabhängige Dichte, bzw.:

$$\rho = \phi^*\phi$$

wird

$$\rho = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^*)$$

Die Absicht ist klar, die Zeitkomponente soll die gleiche Form wie die Raumkomponente haben. Die Stromgleichung lautet nun:

$$J^\mu = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^*)$$

die nun die Zeitkomponente enthält. Die zu verwendende Kontinuitätsgleichung lautet also:

$$\partial_\mu J^\mu = 0$$

wo die Großschreibung von$J$scheint eine willkürliche Wahl in der Ableitung zu sein.

Ob dies beabsichtigt ist, kann anhand des Artikels zum Wahrscheinlichkeitsstrom überprüft werden .

Aus dem Obigen kann ich ersehen, dass die plötzliche Einfügung der Aussage, die man willkürlich auswählen kann

$$\psi$$ Und $$\dfrac{\partial \psi}{\partial t}$$ ist nicht gut erklärt. Dieser Teil des Artikels war auch für mich eine Quelle der Verwirrung, bis man merkte, dass der Autor versuchte, eine Diskussion über die Klein-Gordon-Gleichung anzuregen

Eine schnelle Suche im Internet nach "Wahrscheinlichkeitsstrom und Klein-Gordan-Gleichung" findet gute Links, darunter einen guten von der Physikabteilung der UC Davis . Wenn Sie die Diskussion in dem Papier verfolgen, können Sie sehen, dass es bestätigt, dass das Argument wirklich versucht, eine Diskussion über die Klein-Gordon-Gleichung zu führen und die Verbindung zur Wahrscheinlichkeitsdichte herzustellen.

Wenn man nun noch einmal schnell nach "negativen Lösungen der Klein-Gordan-Gleichung" sucht, findet man eine nette Abhandlung der Physikabteilung der Ohio University . Dort erhalten wir eine gute Diskussion um Gleichung 3.13 in dem Papier, das wiederholt, dass wir bei der Neudefinition der Dichte eine zusätzliche Variabilität eingeführt haben. Also die Gleichung:

$$\rho = \dfrac{i\hbar}{2mc^2}(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^*)$$

(wo im Original c auf 1 gesetzt wurde) ist wirklich die Wurzel des Problems (was die Absicht im Originalartikel bestätigt). Allerdings beantwortet es wahrscheinlich immer noch nicht die Frage,

"Kann mir jemand zeigen, warum der Ausdruck für Dichte nicht positiv definit ist?",

aber wenn man einen kleinen Einkaufsbummel macht, kann man das Buch Quantum Field Theory Demystified von David McMahon finden (und es gibt einige kostenlose Downloads, aber ich werde sie aus Respekt vor dem Autor nicht verlinken), und wenn Sie Auf Seite 116 finden Sie die Diskussion:

Erinnern an die freie Partikellösung

$$\varphi(\vec{x},t) = e^{-ip\cdot x} = e^{-i(Et- px)}$$ die Zeitableitungen sind $$\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = -iEe^{-i(Et- px)}$$ $$\dfrac{\partial\varphi^*}{\partial t} = iEe^{i(Et- px)}$$ Wir haben $$\varphi^*\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = e^{i(Et- px)}[-iEe^{-i(Et- px)}] = -iE$$ $$\varphi\dfrac{\partial\varphi^*}{\partial t} = e^{-i(Et- px)}[iEe^{i(Et- px)}] = iE$$ Also ist die Wahrscheinlichkeitsdichte $$\rho = i(\varphi^*\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} - \varphi\dfrac{\partial\varphi^*}{\partial t}) = i(-iE-iE) = 2E$$ Sieht soweit gut aus – abgesehen von diesen lästigen Lösungen für negative Energie. Erinnere dich daran $$E = \pm\sqrt{p^2+m^2}$$ Im Fall der negativen Energielösung $$\rho = 2E =-2\sqrt{p^2+m^2}<0$$ was eine negative Wahrscheinlichkeitsdichte ist, was einfach keinen Sinn ergibt.

Hoffentlich hilft das, der Begriff einer negativen Wahrscheinlichkeit macht keinen Sinn, weil wir die Wahrscheinlichkeit auf dem Intervall [0,1] definieren, also haben negative Wahrscheinlichkeiten per Definition keine Bedeutung. Dieser Punkt geht den Leuten manchmal verloren, wenn sie versuchen, den Dingen einen Sinn zu geben, aber logischerweise ist jede Diskussion über negative Wahrscheinlichkeiten unsinnig. Aus diesem Grund hat QFT die Klein-Gordan-Gleichung neu interpretiert und sie für eine Gleichung umfunktioniert, die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren regelt .