Weiter von Diracs Gleichung als Student

In meinem QM-Kurs behandeln wir die Grundlagen des Versuchs, QM mit der speziellen Relativitätstheorie in Einklang zu bringen. Soweit ich weiß, hat Dirac die Definition übernommen E = P 2 C 2 + M 2 C 4 und benutzte es für die Schrödinger-Gleichung. Es stellt sich heraus, dass die Form, die wir wollen, folgende ist:

E = C a → ⋅ P → + β M C 2
Wo a Und β sind 4x4-Matrizen. Ist das ein Hamiltonian? Heißt das, ich schreibe einfach:
ich ℏ ∂ ∂ T | ψ ⟩ = E | ψ ⟩
Es scheint falsch zu sein, da ich keine möglichen Begriffe sehe.

Ich habe versucht, mich umzusehen, und anscheinend ist dies ein Ergebnis für Teilchen mit Spin 1/2? Wie kam hier der Spin ins Spiel und warum 1/2? Ich weiß, dass die Matrizen die Pauli-Spin-Matrizen beinhalten, aber ich kann nicht sehen, wie der Spin hereingekommen ist. Im Wesentlichen weiß ich nicht wirklich, was ich jetzt mit diesem Ergebnis anfangen und wie ich seine Bedeutung interpretieren soll. Kann ich eine Erklärung auf Bachelor-Niveau (vorzugsweise keine QFT) darüber erhalten, was Diracs Gleichung impliziert und wie sie dies tut? Wikipedia sagt, es impliziert die Existenz von Antiteilchen und das klingt einfach so interessant.

Sie können es ohne Spin tun, indem Sie beispielsweise die 2x2-Pauli-Matrizen verwenden. Die beiden Freiheitsgrade kann man sich als Teilchen und Antiteilchen vorstellen. Sie können das sogar beseitigen, indem Sie eine reelle Basis für die Matrizen wählen und die Komponenten auf reell beschränken, was zur Majorana-Gleichung führt.

Antworten (1)

Das ist, was ich weiß:

Diracs Motivation war eine quantenmechanische Gleichung für Elektronen, die eine viel genauere Behandlung von Atomspektren ermöglichen würde.

Ohne in mathematische Formalitäten einzusteigen:

  1. Wir wissen, dass wir mindestens 2 Komponentenwellenfunktionen benötigen, um mit der umzugehen 1 2 Spin eines Elektrons.
  2. Das Hauptziel ist die vollständige Integration von SR. Eine Anforderung sind Paritätstransformationen. Es stellt sich heraus, dass die ( 1 2 , 0 ) Darstellungen transformiert sich in die andere, ( 0 , 1 2 ) unter einer Paritätstransformation. Also auch wenn Sie nicht wollen 4 komplexen Komponentenwellenfunktionen haben Sie keine Wahl.

Dies macht die Gleichung jedoch in der Lage, eine Vielzahl von Darstellungen mit einer Gleichung auszudrücken.

Nehmen Sie die Klein-Gordon-Gleichung für eine Skalarfunktion eines Masseteilchens M : ( ∂ 2 + M 2 ) ψ = 0 .

Dirac wollte eine lineare Gleichung. Gibt es eine "Quadratwurzel" von ( ∂ 2 + M 2 ) ?

Quadrieren des Ansatzes ergibt ( 1 2 { γ μ , γ v } ∂ μ ∂ v + M 2 ) ψ = 0

Um die ursprüngliche Gleichung wiederzuerlangen, definierte Dirac { γ μ , γ v } = 2 η μ v

Die Resultierenden sind die Gammamatrizen und die lineare Gleichung ist

( ich γ μ ∂ μ − M ) ψ = 0
oder
( ich ∂ / − M ) ψ = 0
unter Verwendung der praktischen Feynman-Slash-Notation.

Es gibt noch viel, viel mehr zu sagen und mehr Möglichkeiten, die Gleichung zu erhalten, aber Sie haben nach den Grundlagen gefragt.

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