Spinmatrizen in der Dirac-Gleichung

Warum in jedem Lehrbuch bei der Ableitung der Dirac-Gleichung die kleinstmöglichen Matrizen ( 2 × 2 ) werden verwendet? Ich frage mich, warum man keine Spin-1-Matrizen verwenden konnte ( 3 × 3 ) und relativistische Gleichung für Teilchen mit Spin 1 erhalten?

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Man kann Gleichungen für Spin-1-Teilchen aufschreiben, aber es wird nicht die Dirac-Gleichung sein, weil die Dirac-Gleichung per Definition Spin-1/2-Teilchen (dh Fermionen wie Leptonen und Quarks) beschreibt. Die Gleichungen für freie Felder, die Spin-Eins-Teilchen zugeordnet sind, sind die Maxwell-Gleichungen (für Photonen usw.) und/oder Proca-Gleichungen (für W-Bosonen oder Z-Bosonen).

Aber ich denke, Sie würden zustimmen, dass es immer noch eine interessante Übung ist, zu versuchen, die Massen-Maxwell-Gleichungen aus einer solchen Feldgleichung zu erhalten
@Luboš Motl "beschreibt per Definition Spin-1/2" - könnten Sie das näher erläutern? Wo immer ich Diracs Gleichungsableitung sehe, wird nur der Fall von 2x2-Matrizen betrachtet, was offensichtlich zu Spin-1/2 führt, aber was ist mit anderen Fällen?
Lieber @lurscher, die Spin-One-Gleichung ist die Maxwell-Gleichung. Die Arbeit, die benötigt wird, um von einem zum anderen zu gelangen, ist null. Naja, man darf höchstens eine Basis ändern oder so. John: Elektron hat J = 1 / 2 weil der Eigenwert von J z = J 12 = γ 1 γ 2 / 2 Einwirken auf den Elektronenzustand ist 1 / 2 mal den Originalzustand. Photon hat J = 1 denn wenn du mit handelst J 12 auf dem sich in z-Richtung bewegenden Photonenzustand erhalten Sie 1 mal den Originalzustand. Eine Hälfte ist etwas anderes als eine. Wenn Menschen beispielsweise nur 1/2 Brot essen, kann 1 Brot 2 von ihnen ernähren, nicht eines.

Teilchen im Standardmodell sind im Prinzip masselos und erhalten Masse durch Wechselwirkungen über die Lagrange-Funktion. Dies stellt ein Problem dar, wenn Sie die 3x3-Matrixgeneratoren des Drehimpulses verwenden möchten, da masselose Teilchen andere Lie-Gruppendarstellungen haben als Teilchen mit Masse.

Die 3x3-Generatoren für Teilchen mit Spin 1 wirken auf drei Zustände, -1, 0 +1. Im masselosen Fall verbleiben nur zwei Zustände.

Bei Fermionen und den 2x2 SU(2)-Matrizen besteht dieses Problem nicht. Die beiden chiralen Komponenten ψ L Und ψ R breiten sich lichtartig aus und die beiden Zustände jeder chiralen Komponente entsprechen dem Spin nach oben und unten, wobei der Spin parallel oder antiparallel zur Ausbreitungsrichtung ist.

Hans

lange Rede kurzer Sinn, wenn ich Sie richtig verstehe: wenn es Spin-1/2 ist, beides M = ± 1 / 2 Die Werte sind für Teilchen, ob sie eine Masse haben oder nicht, in Ordnung, während es für Spin-1-Teilchen ein Problem mit masselosen Teilchen gibt M ≠ 0 ?
Spinmatrizen in der Dirac-Gleichung
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