Die Dirac-Gleichung verstehen

Ich lese ein Physikbuch, in dem die Dirac-Gleichung in der Form eingeführt wird:

[ C a ⋅ ( P + e A C ) − e ϕ + β M C 2 ] Ψ = ich ℏ ∂ Ψ ∂ T
Wo
a k = [ 0 2 σ k σ k 0 2 ] , β = [ ICH 2 0 2 0 2 − ICH 2 ] .
Der Autor will dann die Lösungen für ein konstantes Magnetfeld zeigen, mit ϕ ≡ 0 . Dann schreibt er:
[ M C 2 C σ ⋅ π C σ ⋅ π − M C 2 ] [ ψ u ψ l ] = E [ ψ u ψ l ]
Ohne nirgendwo zu erklären, was π ist, aber ich kann sehen, dass es verbunden sein muss P . Als nächstes stellt er die folgende Gleichung auf, ohne zu erklären, woher sie kommt:
(*) ( σ ⋅ π ) 2 = π 2 + ich σ ⋅ π × π
Und ich weiß nicht, warum diese Begriffe gleich sind. Kann jemand erklären

  1. was ist π Exakt?

  2. Woher kommt das Ergebnis in Gl. ( ∗ ) komme aus?

Bitte geben Sie Buchtitel und Autor an.
Es stammt aus Theoretical Foundations of Electron Spin Resonance von John Harriman.

Antworten (1)

Ich denke, der Autor möchte Lösungen der Form finden:

Ψ ( T ) = e − ich 1 ℏ E T ( ψ u ψ l )
Wenn Sie das einfügen und dann die Werte von ersetzen β Und a Du wirst kriegen,
( ICH 2 M C 2 C ∑ k σ k ( P k + e A k C ) C ∑ k σ k ( P k + e A k C ) − ICH 2 M C 2 ) ( ψ u ψ l ) = E ( ψ u ψ l )
Sie haben also den Wert von erhalten π = ( P + e A C ) . Woher (*) kommt, ist sehr einfach, wenn Sie die Pauli-Matrix-Identitäten kennen. Insbesondere:
σ ich σ J = 2 ICH δ ich J + ich ε ich J k σ k
Wende das an ( σ ⋅ π ) 2 und erinnere dich daran ( A × B ) k = ε ich J k A ich B J . Sie werden sehen, dass Sie (*) erhalten

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