Sowohl in QM als auch in SR wird Energie mit Zeit und Momentum mit Raum gepaart. Gibt es da irgendwelche Verbindungen?

Ja, denn über den Satz von Noether folgt die Energieerhaltung direkt aus der Zeitsymmetrie (wenn Sie heute ein Experiment durchführen und dasselbe Experiment morgen oder in 100 Jahren am selben Ort wiederholen, wird das Ergebnis dasselbe sein) und ebenso die Erhaltung des Impulses folgt direkt aus der räumlichen Symmetrie (wenn Sie ein Experiment an einem Ort durchführen, dann 100 Yards entfernt, dann 1 Lichtjahr entfernt, ist das Ergebnis dasselbe).
Eine Folge davon ist, dass Energie in gewisser Hinsicht NICHT erhalten bleibt, wenn man unser Universum als Ganzes betrachtet. Wenn Sie 1 Sekunde nach dem Urknall ein Experiment durchführen würden und es jetzt an derselben Stelle durchführen würden, wären die Ergebnisse aufgrund der Expansion des Universums anders. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass der kosmische Mikrowellenhintergrund im Laufe der Zeit an Energie verloren hat. Diese Energie ist nirgendwohin gegangen; es ist nur aus der Bilanz.

Dies ist eine großartige Einsicht, die Sie durch das Studium der Beziehungen dieser Größen in unterschiedlichen Gleichungen gewonnen haben, und weist auf tiefere Realitäten hin. So werden wissenschaftliche Entdeckungen gemacht.

Dies ist eine großartige Frage, und leider haben Sie von RC_23 eine völlig falsche Antwort erhalten.

Das erste, was zu erkennen ist, ist, dass die Analogie nicht ganz so eng ist, wie es scheint. Die relevante Größe in der Quantenmechanik ist der Hamiltonoperator, und dieser ist eigentlich nicht immer gleichbedeutend mit der Energie eines Systems. In einem rotierenden Rahmen sind dies beispielsweise verschiedene Dinge.

Ein weiteres Brechen der Analogie ist die Tatsache, dass, obwohl die Zeit in der Relativitätstheorie nur eine weitere Koordinate ist, dies in der Quantenmechanik nicht der Fall ist. Im QM ist Zeit ein Parameter, und es gibt keinen Zeitoperator oder eine beobachtbare Zeit. (Wenn man zum Beispiel einen Zeitoperator auf ein Elektron im Grundzustand des Wasserstoffatoms anwendet, kann da natürlich nichts Sinnvolles herauskommen, und ebenso bei einer Zeitmessung dieses Systems, die es auch ist einfach als Uhr zu fungieren.)

Wenn wir die Quantenmechanik aus moderner Perspektive betrachten, dann hat sie im Grunde nichts mit Dingen wie Impuls oder Energie zu tun. Wenn Sie sich eine dieser Formulierungen ansehen, zB https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012 , werden Sie feststellen, dass die Grundbausteine ​​eher Qubits als Partikeln ähneln. Es ist möglich, reichhaltige, interessante Quantensysteme wie Quantencomputer zu haben, für die es einen Hamilton-Operator und einen Zeitparameter gibt, aber keinen Impuls oder Ort.

Im Grunde haben wir also nur Wellenfunktionen, und der Hamiltonoperator sagt uns, wie sich die Wellenfunktion mit der Zeit entwickelt. Es gibt nichts über Position oder Impuls, das QM innewohnt. Wenn Sie jedoch Bausteine ​​wie Teilchen haben, die im Weltraum leben, müssen Sie das Korrespondenzprinzip befolgen, was bedeutet, dass Sie in der Lage sein müssen, die klassischen Bewegungsgleichungen in der entsprechenden Grenze wiederherzustellen. Normalerweise tun wir dies, indem wir den QM-Hamiltonoperator mit dem Hamiltonoperator aus der klassischen Mechanik verknüpfen. Wenn Sie sich die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ansehen, werden Sie feststellen, dass es die Art von symmetrischer Behandlung von Hamiltonian, Zeit, Position und Impuls gibt, die in Ihrer Frage beschrieben wird.

In der speziellen Relativitätstheorie ist die Situation völlig anders, außer dass wir immer noch das Korrespondenzprinzip befolgen müssen, damit wir die Newtonschen Gesetze im nichtrelativistischen Grenzfall zurückgewinnen können. Die Energie-Impuls/Zeit-Position-Analogie ist in SR (anders als in QM) völlig korrekt, und es ist nicht schwer zu erkennen, woher sie kommt. Grundsätzlich ist die Relativitätstheorie eine geometrische Theorie, daher müssen alle unsere Observablen grundsätzlich Skalare oder Vierervektoren sein. (Sie könnten auch höherrangige Tensoren oder Teile davon sein, aber im Grunde müssen sie Dinge sein, die ein konsistentes inneres Produkt und einen parallelen Transport auf konsistente Weise verwenden.) Wenn die Weltlinie eines Teilchens träge ist und Punkte in der Raumzeit verbindet, die sich unterscheiden um eine Verschiebung$(\Delta t,\Delta x)$, dann ist das ein Vierervektor.

Wir könnten nach Energie und Impuls dieses Teilchens als separate Objekte fragen, aber das wird nicht funktionieren, weil Energie kein relativistischer Skalar ist und Impuls kein Vierervektor. Wenn wir eine Größe haben wollen, die relativistisch sinnvoll ist und in irgendeiner Weise mit dem nichtrelativistischen E und p verbunden ist, wie es das Korrespondenzprinzip erfordert, dann müssen wir am Ende so etwas wie einen Energie-Impuls-Viervektor haben. Wenn wir nun nach seinem Energie-Impuls-Viervektor fragen, gibt es keine Regel, die wir verwenden können, um diesem Vierervektor eine Richtung zu geben, es sei denn, wir lassen ihn in die gleiche Richtung wie der Verschiebungsvektor zeigen. (Wenn sie in unterschiedliche Richtungen zeigten, würde die Auswahl einer räumlichen Richtung für den Impuls ungleich Null im Ruhesystem des Partikels die Rotationssymmetrie verletzen.)

RC_23 sagt, dass dies durch den Satz von Noether erklärt werden kann. Das ist falsch. Der Satz von Noether ist eine Folgerung aus der Hamiltonschen Mechanik, und zwar nur in dem Spezialfall, in dem eine Symmetrie vorliegt. Ein System muss nicht einmal eine solche Symmetrie haben, und doch müssen in einer solchen Situation alle diese Beziehungen, die konjugierte Variablen beinhalten, immer noch gelten.

Die Antwort von RC_23 verschlimmert den Fehler weiter, indem sie versucht, eine unklare, aber falsche Behauptung aufzustellen, dass dies mit der Nichterhaltung der Energie in der Relativitätstheorie zu tun hat.

Eine Folge davon ist, dass Energie in gewisser Hinsicht NICHT erhalten bleibt, wenn man unser Universum als Ganzes betrachtet. Wenn Sie 1 Sekunde nach dem Urknall ein Experiment durchführen würden und es jetzt an derselben Stelle durchführen würden, wären die Ergebnisse aufgrund der Expansion des Universums anders. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass der kosmische Mikrowellenhintergrund im Laufe der Zeit an Energie verloren hat. Diese Energie ist nirgendwohin gegangen; es ist nur aus der Bilanz.

Das hat nichts mit Ihrer Frage zu tun, in der es um QM und SR ging, nicht um QM und GR. Energie wird in GR lokal konserviert (wie durch die Nulldivergenz des Spannungs-Energie-Tensors ausgedrückt), aber nicht global konserviert. Dieser Mangel an globaler Erhaltung hat nichts damit zu tun, dass der Raumzeit eine gewisse Symmetrie fehlt. Beispielsweise bleibt Energie-Impuls für asymptotisch flache Raumzeiten erhalten, obwohl ihnen die relevanten Symmetrien fehlen. Der Satz von Noether funktioniert in GR aus technischen Gründen einfach nicht als Werkzeug für diesen Zweck. Die relevante Symmetrie für GR wäre die Diffeomorphismusinvarianz, aber der Satz von Noether liefert keine Erhaltungsgröße in Bezug auf diese Symmetrie.