Energiedefinition in der speziellen Relativitätstheorie

Question

Energiedefinition in der speziellen Relativitätstheorie

Lammey

Ich gehe die frühen Hausaufgaben für meinen speziellen Relativitätstheoriekurs durch und bin etwas verwirrt, was Energie angeht. Ich habe ein grundlegendes Verständnis davon, was das 4-Impuls ist, nachdem ich es definiert habe $m\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}$ , und gezeigt, dass dies gleich ist $m\gamma (|\vec{v} |)(c,\vec{v})$ Wo $\vec{v}$ ist die klassische Geschwindigkeit im Trägheitsbezugssystem, das den obigen kartesischen Koordinaten zugeordnet ist.

Nun hat eine meiner Aufgaben damit begonnen, zu sagen

Bezeichnen Sie die Komponenten von $p^{\mu}$ als $(E/c, \vec{p})$ ...

Ich verstehe nicht, warum die Zeitkomponente des 4-Vektors als bezeichnet wird $E/c$ . Sie können nicht einfach willkürlich Mengen durch andere Mengen bezeichnen! Ich frage mich also, ob dies eine Definition relativistischer Energie ist oder ob sie aus einem anderen Ergebnis der speziellen Relativitätstheorie folgt?

Danke für jede Klarstellung.

Javier

Also,

γ m c^{2}

$\gamma m c^2$ ist die relativistische Energie. Dies kann je nach Niveau auf verschiedene Weise nachgewiesen werden.

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Denken Sie nun an den nullten (oder vierten, je nach Konvention, den Ihr Buch verwendet) des Vektors, mit dem Sie arbeiten. Ist die Deutung schon klar? Wenn nicht, wurde Ihnen schon die Energie gezeigt, die benötigt wird, um eine Masse zu beschleunigen?

Benutzer41976

Vielleicht möchten Sie auch Einheiten berücksichtigen.

Graf Iblis

Sie können auch überlegen, wie der Impuls in der speziellen Relativitätstheorie definiert werden muss, damit er zu einer Erhaltungsgröße wird. Dann können Sie die Art und Weise betrachten, wie sich dies unter Lorentz-Transformationen transformiert, und diese Transformationen können kovariant in Bezug auf den 4-Impuls geschrieben werden, sodass die letzten 3 Komponenten die Komponenten des Impulses sind. Daraus folgt unmittelbar, dass auch die nullte Komponente erhalten bleibt.

Antworten (3)

Energiedefinition in der speziellen Relativitätstheorie

Also, $\gamma m c^2$ ist die relativistische Energie. Dies kann je nach Niveau auf verschiedene Weise nachgewiesen werden.
Denken Sie nun an den nullten (oder vierten, je nach Konvention, den Ihr Buch verwendet) des Vektors, mit dem Sie arbeiten. Ist die Deutung schon klar? Wenn nicht, wurde Ihnen schon die Energie gezeigt, die benötigt wird, um eine Masse zu beschleunigen?
Sie können auch überlegen, wie der Impuls in der speziellen Relativitätstheorie definiert werden muss, damit er zu einer Erhaltungsgröße wird. Dann können Sie die Art und Weise betrachten, wie sich dies unter Lorentz-Transformationen transformiert, und diese Transformationen können kovariant in Bezug auf den 4-Impuls geschrieben werden, sodass die letzten 3 Komponenten die Komponenten des Impulses sind. Daraus folgt unmittelbar, dass auch die nullte Komponente erhalten bleibt.

David z · Answer 1

David z

Ihr Buch behandelt die Dinge vielleicht ein wenig rückwärts von der Art und Weise, wie sie normalerweise gemacht werden. Der übliche Weg ist, den Impuls-Vier-Vektor als Kombination zu definieren $(E/c, \vec{p})$ , Wo $E$ ist bereits bekannt als die Gesamtenergie (das Ding, das sich reduziert auf $mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$ für $v\ll c$ ) und zeigen dann, dass es die Eigenschaften erfüllt, die von einem Vierervektor erwartet werden. Aber es hört sich so an, als ob Ihr Buch das Vier-Impuls-Via definiert $m\frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau}$ , also wissen Sie, dass es von Anfang an die Eigenschaften erfüllt, die von einem Vierervektor erwartet werden, und dann müssen Sie beweisen, dass die Zeitkomponente dieses Vierervektors eine niedrige Geschwindigkeitsgrenze von hat $mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$ .

Sie verwenden wahrscheinlich die Notation $E/c$ suggestiv sein, aber in diesem Stadium ist es nur eine willkürliche Notation - das heißt, sie beabsichtigen nicht $E$ um noch Energie zu bedeuten. Wenn Sie möchten, können Sie verwenden $p_t$ oder etwas stattdessen, bis Sie tatsächlich zeigen, dass es gleich der Gesamtenergie geteilt durch ist $c$ .

Lammey

Danke für die Antwort! Sie haben Recht: Ich habe nach vorne geschaut und genau das haben sie getan. Nachdem ich das gezeigt habe

E ≅ m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}

$E\cong mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$ in der Grenze

v << c

$v<<c$ , schreiben sie "das haben wir gefunden

E

$E$ ist die Energie." Aber gibt es nicht eine ganze Reihe von Funktionen, deren untere Geschwindigkeitsgrenze die klassische Energie ist? Es muss einen besseren Grund geben, um die Energie zu definieren

m c^{2} γ

$mc^2\gamma$

David z

Ja, ich habe dieses Detail der Einfachheit halber beschönigt, aber das gezeigt

E

$E$ hat, dass die niedrige Geschwindigkeitsgrenze nicht ausreicht, um zu beweisen, dass es die Energie ist. Aber ein echter Beweis wird ein wenig knifflig; was es beinhaltet, hängt davon ab, was Sie als grundlegende Definition von Energie ansehen. Sie könnten zum Beispiel verlangen, dass es sich um eine Erhaltungsgröße für eine bestimmte Klasse physikalischer Systeme handelt, oder Sie könnten es als den Wert des Hamilton-Operators definieren, oder Sie könnten es als das Ding definieren, das sich als die Zeitkomponente eines Vierervektors transformiert und gleich ist

m c^{2}

$mc^2$ im Ruherahmen usw.

David z

Alle diese Definitionen sind übrigens äquivalent (außer vielleicht für einige sehr seltsame physikalische Systeme), aber wie Sie Ihren Beweis führen, hängt davon ab, welche Definition Sie wählen.

Benutzer12262

@DavidZ: " [...] oder definiere es als das Ding, das sich als Zeitkomponente eines Vierervektors transformiert und gleich ist $mc^2$ im Ruhesystem " -- Würde dies eine eindeutige Definition von "Energie" liefern? Gäbe es einen Grund (neben "Gewohnheit"), zum Beispiel abzulehnen

\tilde{E} [v] := \frac{M C^{4}}{\sqrt{C^{4} - | v |^{4}}},

$\tilde E[ \mathbf v ] := \frac{m~c^4}{\sqrt{ c^4 - | \mathbf v |^4 }},$ zusammen mit einem passenden "Raumteil"

\tilde{P} [v] := \frac{M C^{2} | v | v}{\sqrt{C^{4} - | v |^{4}}}

$\tilde{ \mathbf p}[ \mathbf v ] := \frac{m~c^2~| \mathbf v |~\mathbf v}{\sqrt{ c^4 - | \mathbf v |^4 }}$ ? (OTOH, stellen diese Komponenten überhaupt einen legitimen 4-Vektor dar ? ...)

David z

@ user12262 wahr, es wäre nicht eindeutig. Was ich im Sinn hatte, war, dass die räumlichen Komponenten auch in der Niedriggeschwindigkeitsgrenze auf nichtrelativistischen Impuls reduziert werden müssten. Das kann ausreichen, um die Energie eindeutig zu definieren (ich bin mir jedoch nicht sicher).

Benutzer12262

@DavidZ: " Was ich im Sinn hatte, war, dass die räumlichen Komponenten auch in der Niedriggeschwindigkeitsgrenze auf nichtrelativistischen Impuls reduziert werden müssten. Das könnte ausreichen, um die Energie eindeutig zu definieren (ich bin mir jedoch nicht sicher). " - - könnte ich mir (nicht ganz spontan) zum Beispiel einfallen lassen

\tilde{E} [v] := M \sqrt{C^{2} + | v |^{2}},

$\tilde E[ \mathbf v ] := m~\sqrt{c^2+|\mathbf v|^2},$

\tilde{P} [v] := M v .

$\tilde{\mathbf p}[ \mathbf v ] := m~\mathbf v.$ Mir geht es in jedem Fall darum, zunächst eine rigorose Begründung für physikalische Begriffe zu suchen, dann mögliche Grenzen zu evaluieren und erst danach ihr Verhältnis zu möglichen historischen Vorurteilen zu betrachten.

Benutzer12262 · Answer 2

Ich verstehe nicht, warum die Zeitkomponente des 4-Vektors [ $m~\gamma(|\vec v|)~(c, \vec v)$ ] wird als bezeichnet $E/c$ .

Die zugrunde liegende Frage ist also zweifach:
Warum wird "Energie" überhaupt als Zeitkomponente eines 4-Vektors betrachtet? Und warum dieser spezifische Zeitkomponentenausdruck unter den Zeitkomponenten aller denkbaren 4-Vektoren?
(Wobei wir uns offensichtlich auf „Energie von etwas beziehen, das gekennzeichnet ist durch $m$ ", "in Bezug auf das System oder Bezugssystem , das den Wert bestimmt hat $|\vec v|$ von diesem Etwas".)

Eine angemessen allgemeine und leicht anwendbare Definition von (wie zu messen) "Energie" scheint als "Zeitkomponente des Generators von Übersetzungen" (
oder "Erzeuger von Sukzessionen" zu sein; neben der Definition, wie entsprechende Raumkomponenten zu messen sind, nämlich von Momentum als "Generator von Übersetzungen" ):

\hat{E} :≃ \frac{D}{D T} [] .

$\hat E :\simeq \frac{d}{dt}\!\!\big[ ~ \big].$

Anwenden dieses Operators auf $\tau(\vec v)$ (wozu sonst?) ergibt (nach meiner naiven Rechnung):

\hat{E} [τ (\vec{v})] :≃ \frac{D}{D T} [T \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{v} |}{C})}^{2}}] := \frac{D}{D T} [T \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{X} |}{C T})}^{2}}] =

$\hat E\big[ \tau(\vec v) \big] :\simeq \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } \big] := \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } \big] =$

= \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{X} |}{C T})}^{2}} - \frac{\frac{T}{(- T^{3})} {(\frac{| \vec{X} |}{C^{2}})}^{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{X} |}{C T})}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{X} |}{C T})}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{v} |}{C})}^{2}}},

$= \sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } - \frac{\frac{t}{(-t^3)}~\left(\frac{|\vec x|}{c^2}\right)^2}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } } = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec x|}{c~t} \right)^2 } } = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } },$

wo offensichtlich $|\vec v| := |\vec x| / t$ .

Eine ähnliche Übung mit einer Komponente des Impulsoperators $\hat p_x :\simeq \frac{d}{dx}\!\!\big[ ~ \big]$ ergibt:

{\hat{P}}_{X} [τ (\vec{v})] :≃ \frac{D}{D T} [T \sqrt{1 - {(\frac{| \vec{v} |}{C})}^{2}}] := \frac{D}{D T} [T \sqrt{1 - \frac{X^{2} + j^{2} + z^{2}}{(C T)^{2}}}] =

$\hat p_x\!\big[ \tau(\vec v) \big] :\simeq \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } \big] := \frac{d}{dt}\!\!\big[ t~\sqrt{ 1 - \frac{x^2 + y^2 + z^2}{(c~t)^2} } \big] =$

= - \frac{T X}{(C T)^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{X^{2} + j^{2} + z^{2}}{C T})}^{2}}} = \frac{- X}{T C^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{X^{2} + j^{2} + z^{2}}{C T})}^{2}}} = - \frac{v_{X}}{C^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{| \vec{v} |}{C})}^{2}})},

$= -\frac{t~x}{(c~t)^2} \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{x^2 + y^2 + z^2}{c~t} \right)^2 } } = \frac{-x}{t~c^2} \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{x^2 + y^2 + z^2}{c~t} \right)^2 } } = -\frac{v_x}{c^2} \frac{1}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{|\vec v|}{c} \right)^2 } )},$

mit $x$ , $y$ , $z$ bezeichnet Abstände in drei orthogonalen Richtungen, natürlich in einem flachen Raum.

Mit geeigneten Proportionalitätskonstanten

\hat{E} := M C^{2} \frac{D}{D T} []

$\hat E := m~c^2~ \frac{d}{dt}\!\!\big[ ~ \big]$ Und

{\hat{P}}_{X} := M C^{2} \frac{D}{D X} [], {\hat{P}}_{j} := M C^{2} \frac{D}{D j} [], {\hat{P}}_{z} := M C^{2} \frac{D}{D z} []

$\hat p_x := m~c^2~ \frac{d}{dx}\!\!\big[ ~ \big], \,\,\, \hat p_y := m~c^2~ \frac{d}{dy}\!\!\big[ ~ \big], \,\,\, \hat p_z := m~c^2~ \frac{d}{dz}\!\!\big[ ~ \big]$

dann zusammen

(\frac{1}{C^{2}} (\hat{E})^{2} - ({\hat{P}}_{X})^{2} - ({\hat{P}}_{j})^{2} - ({\hat{P}}_{z})^{2}) [τ (\vec{v})] = (M C)^{2}

$\left( \frac{1}{c^2} (\hat E)^2 - (\hat p_x)^2 - (\hat p_y)^2 - (\hat p_z)^2 \right)\!\big[ \tau(\vec v) \big] = (m~c)^2$

was ein Ergebnis ist, das offensichtlich unabhängig von ist $\vec v$ , also eine unveränderliche Eigenschaft des "Etwas", dessen Energie- und Impulskomponenten bestimmt wurden; Und $(\frac{E}{c}, \vec p)$ ist ein entsprechender 4-Vektor-Ausdruck.

All dies gilt im einfachsten Fall für das „Etwas“, das durch die Invariante gekennzeichnet ist $m$ ist gratis". Wenn stattdessen ein „Potenzial“ in die Betrachtung eingeht, dann wird die Invariante eher als ausgedrückt

(\frac{1}{C^{2}} (\hat{E} - Q A_{T})^{2} - ({\hat{P}}_{X} - Q A_{X})^{2} - ({\hat{P}}_{j} - Q A_{j})^{2} - ({\hat{P}}_{z} - Q A_{z})^{2}) [τ (\vec{v})] = (M C)^{2},

$\left( \frac{1}{c^2} (\hat E - q~A_t)^2 - (\hat p_x - q~A_x)^2 - (\hat p_y - q~A_y)^2 - (\hat p_z - q~A_z)^2 \right)\!\big[ \tau(\vec v) \big] = (m~c)^2,$

Wo $\mathbf A := (\frac{A_t}{c}, \vec A)$ ist ein geeignetes 4-Vektor-Potential (dessen Komponenten wiederum als Ableitungen einer geeigneten "Phasenfunktion" ausgedrückt werden können $\alpha( \mathbf x )$ ), Und $q$ stellt eine "Ladung" dar.

Danke für die Antwort! Ich wusste, dass Energie und Impuls Operatoren in der Quantenmechanik sind, aber ich habe sie noch nicht als Operatoren in irgendetwas anderem gesehen – es könnte eine Weile dauern, bis ich mich damit auseinandergesetzt habe
@James Machin: " Danke für die Antwort! " - Sicher; vielen Dank für die Nachfrage. " [...] es könnte eine Weile dauern, bis ich das in den Kopf bekomme " -- ich auch ...

Carey R. Carlson · Answer 3

Ohne Analysis wird die Spezielle Relativitätstheorie in der vollständig diskreten Theorie der „kausalen Mengen“ behandelt. Einstein schlug vor, dass eine diskrete Theorie der Raumzeit eine inhärente Metrik liefern könnte, während ein Kontinuum erfordert, dass eine Metrik als Zubehör zur Raumzeit auferlegt wird. In der kausalen Mengentheorie wird die Mannigfaltigkeit allein in Bezug auf die Zeit formuliert, wobei primitive räumliche Beziehungen von der Theorie ausgeschlossen werden. (Wenn dies gelingt, wäre dies die erste Reduktion von Parametern in der Physik seit Newtons ursprünglicher Reduktion.) Ich bemerkte in einem kausalen Mengendiagramm aus 3 Pfeilen, dass Frequenzverhältnisse gebildet werden, die nützlich sind, um Energieverhältnisse gemäß Plancks E = hf zu definieren . Die "kausale Verbindung" oder der diskrete zeitliche Übergang wird als Quantum von Energieverhältnissen oder einfach als Energiequantum impliziert. Wir haben hier eine rein zeitliche Strukturdefinition der Energie und ihres Quantums, dargestellt im einfachsten Fall durch ein Zeitdiagramm aus 3 Pfeilen. Somit haben wir die Aussicht, Raum, Zeit und Energie auf kausale Mengen zu reduzieren, die einfach Formationen sind, die durch bloße zeitliche Abfolge erzeugt werden. Siehe "Kausale Mengentheorie und der Ursprung des Massenverhältnisses".http://vixra.org/pdf/1006.0070v1.pdf

Vollständige Offenlegung: Sie sind der Autor des verlinkten Artikels.

Energiedefinition in der speziellen Relativitätstheorie

Lammey

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Benutzer12262

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Carey R. Carlson

Brandon Enright

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