Warum hat Energy-Momentum einen Sonderfall?

Erstens die nicht-relativistische Gleichung

Die letzte, relativistische Formel ist immer richtig. Die erste, wenn wir „nur absolut richtige und exakte“ Formeln betrachten wollen, ist nie richtig – außer für den Fall$v=0$. Die nicht-relativistische Gleichung kann jedoch auf eine völlig strenge Weise geschrieben werden (um zu beschreiben, dass sie ungefähr ist) als

Die Grenze der Werte von$v$wo die nicht-relativistische Formel gilt, ist in der Tat "unscharf" - man kann keinen genauen Wert angeben$v$(ausser für$v=0$, in dem oben beschriebenen nutzlosen Sinne), wo die nicht-relativistische Formel nicht mehr gilt. Aber für$v/c\lt 0.1$oder so ist der Fehler kleiner als ein Prozent. Für eine höhere Geschwindigkeit als$v=c/2$, wird die nicht-relativistische Formel so schlecht, dass sie in keinem quantitativen Kontext verwendet werden kann.

Der Fehler der nichtrelativistischen Energieformel – oder demokratischer ausgedrückt, der Unterschied zwischen den beiden Formeln – nimmt einfach allmählich ab$0$bei$v=0$auf etwas vergleichbares zu 100% an$v=c/2$und ein großer Fehler für$v\to c$.

Die Physik basiert grundsätzlich auf kontinuierlichen Zahlen, was bedeutet, dass sich so ziemlich alle ihre Größen allmählich ändern und sich auch ihre Unterschiede und Fehler allmählich ändern. Außerdem sind Fehler, die kleiner als ein bestimmter Schwellenwert sind, experimentell nicht nachweisbar, was es erlaubt, in einem sehr spezifischen empirisch begründeten Sinn zu sagen, dass der Fehler im Grunde Null ist.

Aufgrund der Allgegenwart von Grenzen und einschränkenden Behauptungen über Formeln, Ausdrücke und Theorien in der Physik kann man sagen, dass Sie praktisch keine Chance haben, wenn Sie diese wichtigen Konzepte über Grenzen und Ausdrücke, die in Grenzen äquivalent sind, nicht verstehen und annehmen alles in Physik verstehen .

Als nächstes, warum funktioniert das nicht in jeder Hinsicht? Sicherlich sollte eine Gleichung "universell" sein und dennoch mit allen gegebenen Werten funktionieren.

Ja, es wäre schön, wenn wir eine "universelle" Gleichung finden könnten. Im Fall von Masse m, Energie E und Impuls p gibt es eine solche universelle Gleichung:

Einstein wollte schon immer eine Theorie/Gleichung aufstellen, die auf jeden Aspekt der Physik anwendbar ist und keine "Fudge"-Faktoren enthält

Ja, es ist ein großer Triumph, dass diese Gleichung immer für jeden Aspekt der Physik gilt, ohne Fudge-Faktoren:

Ich bin auf "Sonderfälle" gestoßen, in denen dies nicht zutrifft

Wirklich? Mein Verständnis ist, dass die obige Gleichung immer gilt. Haben Sie tatsächlich berechnet oder gemessen, was der angebliche Unterschied ist?

Vor allem, warum funktioniert das nicht,

Ich verstehe nicht. Die gleichung

Wenn die Geschwindigkeit des Körpers$v$ist viel weniger als$c$, dann reduziert sich die Gleichung auf$E = (mv^2/2) + mc^2$.

Was meinen sie mit "viel langsamer", was ist die Grenze für "viel langsamer"?

Was sie mit "reduziert auf" und "viel langsamer" meinen, ist, dass Menschen oft bereit sind, eine kleine Menge an Fehlern zu tolerieren, und bei jeder bestimmten Menge an tolerierbaren Fehlern gibt es einen bestimmten Geschwindigkeitsbereich (einschließlich 0), in dem die Gleichung liegt

$E = (mv^2/2) + mc^2$

, obwohl mathematisch nicht genau korrekt, liegt innerhalb dieses tolerierbaren Fehlers der korrekten Gleichung.

Wenn wir also bereit sind, einen Fehler von 0,01 % zu tolerieren, dann ist diese technisch falsche Formel ausreichend für Geschwindigkeiten v kleiner als 0,1 c =~= 108.000.000 km/h.

Manchmal führen wir Messungen mit viel höherer Genauigkeit durch – in diesem Fall gibt es einen kleineren Bereich langsamerer Geschwindigkeiten, der mit der Newtonschen Formel eine angemessene Genauigkeit ergibt.

Historisch gesehen war dieses „Reduziert auf“ wichtig, weil über ein Jahrhundert Forschung gezeigt hat, dass Newtonsche Gleichungen immer mit den tatsächlich beobachteten Ergebnissen übereinstimmten, innerhalb experimenteller Fehler. Die Leute zögerten, auf Einsteins Gleichungen umzusteigen – die, wie Sie betonten, nicht mit den Newtonschen Gleichungen identisch sind. Warum sollten sie von etwas, das funktioniert, zu einer anderen Gleichung wechseln? Der Punkt ist, dass all diese Experimente mit so langsamen Geschwindigkeiten durchgeführt wurden, dass der Unterschied zwischen der "richtigen" Gleichung und der "falschen" Gleichung zu klein war, um gemessen zu werden. Um also zu entscheiden, welche Gleichung richtig ist, mussten wir neue Experimente durchführen, bei denen der Unterschied zwischen diesen Gleichungen groß genug war, um gemessen zu werden.

Wenn Sie setzen$p = \gamma mv$Wo$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$Und$\beta = \frac{v}{c}$in Einsteins Gleichung erhalten Sie

$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 = (\gamma mvc)^2+ (mc^2)^2$

$= (\frac{c^2}{c^2 - v^2})v^2(mc)^2 + (mc^2)^2= (\frac{v^2}{c^2 - v^2})(mc^2)^2 + (mc^2)^2$

$= (\frac{c^2}{c^2 - v^2})(mc^2)^2 = (\gamma mc^2)^2$

$\therefore E = \gamma m c^2\ .$

Wenden Sie nun eine Binomialentwicklung an, vorausgesetzt$v \ll c$dh$\beta \ll 1$:

$E = (1-\beta^2)^{-\frac{1}{2}}mc^2$

$\implies$$E = (1 -\frac{1}{2}(-\beta^2) + O(\beta^4))mc^2$

Jetzt bekommst du die Antwort auf alles. Wenn die Genauigkeit, die Sie in Ihren Berechnungen wünschen, geringer ist als die von der bereitgestellte$O(\beta^4)$Terme, dh wenn v so „klein“ ist, dass in der Energieberechnung die vierte Potenz von$\frac{v}{c}$wird für Sie keinen großen Unterschied machen, dann können Sie die Formel verwenden, indem Sie nur die ersten beiden Terme nehmen und den Rest ignorieren. In diesem Fall erhalten Sie das Ergebnis, das Sie in Ihrer Frage angegeben haben:

$E = (1 -\frac{1}{2}(-\beta^2))mc^2 = mc^2 + \frac{1}{2}m\frac{v^2}{c^2}c^2 = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$

Wenn die Geschwindigkeit des Körpers$v$ist viel weniger als$c$, dann reduziert sich die Gleichung auf

Das ist eine ungenaue Formulierung und der Grund für Ihre Verwirrung, glaube ich.

Die korrekte Beschreibung ist, dass die zweite Gleichung eine Annäherung an die erste ist und umso genauer, je niedriger sie ist$v$Ist.

Die Annäherung ist wichtig, um die Verbindung zwischen der Newtonschen und der relativistischen Physik zu verstehen, aber ich glaube nicht, dass die Annäherung darüber hinaus viel praktischen Zweck hat.

Entweder Sie führen Ihre Berechnungen mit der Newtonschen Physik durch, wobei Sie die Masse-Energie-Beziehung außer Acht lassen, oder Sie führen sie mit relativistischen Regeln durch, bei denen Sie die vollständigen Gleichungen verwenden.

Erstens sind Ihre Ergebnisse korrekt und werden von Einstein gefunden. Die Tatsache, dass ein neuer Begriff auftaucht, zeigt jedoch nur, dass unser bisheriges Wissen unvollständig war. Der neue Begriff drückt die Energie bezogen auf die Ruhemasse des Körpers aus, die bisher nicht berücksichtigt wurde. Und es macht Sinn, weil zuvor bei der Gleichsetzung der Energie eines Körpers nur die Begriffe eingeschlossen waren, die sich auf Energieformen bezogen, von denen wir wussten, dass ein gewisser Austausch stattfinden könnte . Da nicht bekannt war, dass sich Masse mit Energie austauscht, war das Gesetz zur Massenerhaltung bekannt, aber getrennt.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der neue Begriff nicht unvereinbar mit der Reproduzierbarkeit der bisherigen Physik ist, er ist Teil der neuen Erkenntnisse, die gebracht werden.

Was unter "viel langsamer" zu verstehen ist, hängt von der Empfindlichkeit Ihres Experiments oder Ihrer Phänomene ab. Aber eine gute Faustregel ist: wenn die kinetische Energie in der Größenordnung der Ruhemasse liegt. Denken Sie daran, dass sich die Gesamtenergie eines Teilchens auf die Ruhemasse bezieht$m_0$als

Spezielle Gleichungen der von Ihnen erwähnten Art sind nützlich, da sie einschränkendes Verhalten verdeutlichen.

Ihr Beispiel unterscheidet sich nicht von einer Aussage wie: die Hypotenuse$c$eines rechtwinkligen Dreiecks mit Beinen$a$Und$b$mit$b \ll a$wird von gegeben$c = a + \frac12 b^2/a$. Die pythagoräische Beziehung$c^2 = a^2 + b^2$gilt für jedes rechtwinklige Dreieck, aber den Spezialfall$b \ll a$ist nützlich, um zu verdeutlichen, wie weit sich die Hypotenuse an der Grenze ultrascharfer rechtwinkliger Dreiecke über das größere Bein hinaus erstreckt.

Ebenso die Gleichung$E = mc^2 + \frac12 mv^2$beschreibt, um wie viel größer die Gesamtenergie ist$E$eines bewegten Objekts im Vergleich zu seiner Ruheenergie$mc^2$, in der Grenze des Verhältnisses der Objektgeschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit, die auf Null abfällt. Diese Energiedifferenz ist als kinetische Energie bekannt, und die Grenzgleichung macht deutlich, dass im Grenzbereich langsamer Bewegungen die kinetischen Energien in Einsteins Theorie mit denen in Newtons Theorie übereinstimmen.

Ich habe niemanden gesehen, der den praktischen Grund erwähnt hat, eine Annäherung für Energie zu verwenden. Es ist so, dass Sie bei den meisten Problemen Energieunterschiede berechnen werden . In diesem Fall können Sie für kleine Geschwindigkeiten nicht nur die Annäherung vornehmen${m v^2\over 2}+m c^2$, aber wenn Sie auch nicht Masse in Energie umwandeln oder umgekehrt, können Sie das weglassen$m c^2$auch da es subtrahiert wird. Jetzt haben Sie Newtons${m v^2\over 2}$. Dies ist für die meisten irdischen Probleme viel angemessener, und Sie können es ohne das leichter berechnen$m c^2$. Wenn Sie die Energieänderung durch die Beschleunigung eines Objekts um 20 m/s berechnen wollten, und Sie versuchten, es zu verwenden$E^2=(m c^2)^2+(p c)^2$, dann würde die Änderung in der 14. Stelle nach dem Komma ausfallen$E$. Hier werden Annäherungen und das Weglassen konstanter Terme nicht nur nützlich, sondern unerlässlich.

Die obigen Antworten sind alle gut, aber ich möchte noch etwas hinzufügen. Sie können die Energie-Impuls-Beziehung zumindest prinzipiell aus der Wirkung ableiten$A=-m\int \sqrt{1-v^2}{\rm d}t$. Lagrange ist$\cal L$$=-m\sqrt{1-v^2}$, dann kannst du Schwung bekommen$p$von Ableitung in Bezug auf$v$(Das ist der eigentliche Schwung, nicht$mv$). Energie$H=E=pv-\cal L$, genauso wie$E^2=p^2+m^2$du erhältst.

Eine direkte Antwort:

Als nächstes, warum funktioniert das nicht in jeder Hinsicht? Sicherlich sollte eine Gleichung "universell" sein und dennoch mit allen gegebenen Werten funktionieren.

Die gleichung$E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2$ funktioniert für alle Werte.

Wie andere Antworten erklärt haben, bei niedrigen Geschwindigkeiten (oder gleichwertig niedrigen Impulsen),$E = \frac{1}{2}mv^2 + mc^2$liefert ungefähr das gleiche Ergebnis und ist etwas einfacher zu berechnen. Das ist der Grund, warum wir es verwenden.

Die ersten beiden Nicht-Null-Terme der Taylor-Reihenentwicklung von$E$In

Sind

Die verbleibenden Terme ungleich Null enthalten$v^4$,$v^6$, usw. und sind für Alltagsgeschwindigkeiten praktisch irrelevant. Der Zweck dieser Annäherung besteht darin, zu zeigen, wie sich die relativistische Kinetik bei niedrigen Geschwindigkeiten auf die Newtonsche Kinetik reduziert.

Wichtig ist, dass es keine Grenze gibt, sondern der Unterschied immer kleiner wird.