Eine Frage zu E=pcE=pcE=pc für masselose Teilchen

Ihre Formel für die kinetische Energie ist falsch. Die richtige für ein massives Teilchen ist

$$KE = m c^2\left[ \frac{1}{\sqrt{ 1 - v^2/c^2}} - 1 \right]$$ mit $$p = \frac{ m v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$ Um nun ein Photon zu beschreiben, wollen wir zwei Grenzen nehmen $m \to 0$und $v \to c$. Diese Grenzen müssen richtig eingehalten werden. Genau genommen wollen wir diese Grenze so nehmen, dass der Impuls wohldefiniert bleibt und gleich ist $p$. Dies impliziert $$\frac{p}{c} = \lim_{v\to c}\lim_{m\to0} \frac{ m}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$ Wenden wir dieselbe Grenze auf die kinetische Energie an, erhalten wir $$KE = \lim_{v\to c}\lim_{m\to0} \left( \frac{ m c^2}{\sqrt{ 1 - v^2/c^2}} - m c^2 \right) = \frac{p}{c} c^2 - 0 = p c$$ was mit der Gleichung übereinstimmt, die Sie zuerst aufgeschrieben haben!

Verwendung des Zusammenhangs zwischen Masse, Energie und Impuls

$$E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$$ $$E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$$

$$\begin{align*} E_{kin} &= E - E_0 \\&= \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2} - mc^2 \\&= mc^2\left[\sqrt{1 + \frac{p^2}{m^2c^2}} - 1\right] = m c^2\left[ \frac{1}{\sqrt{ 1 - v^2/c^2}} - 1 \right] \\ \\&\approx mc^2\left[\left(1 + \frac12 \frac{p^2}{m^2c^2}\right) - 1\right] \\&= \frac{p^2}{2m} \end{align*}$$

wobei die Annäherung nur die Taylor-Entwicklung erster Ordnung ist$\sqrt{1+x}$bei$0$als$p^2 \ll m^2c^2$im nichtrelativistischen Fall.

Es gibt tatsächlich ein paar verschiedene Möglichkeiten, dies zu betrachten. Der einfache Weg ist zu sagen, dass Sie die falsche Grenze genommen haben - aber nicht wegen eines mathematischen Fehlers. Das Problem ist die Formel$E_k = \frac{1}{2}mv^2$oder$E_k = \frac{p^2}{2m}$ist selbst eine Niedriggeschwindigkeitsgrenze der wahren Formel,

$$E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}$$

Diese Berechnung wird in der Antwort von ProgrammingEnthusiast demonstriert . Hoffentlich ist es sinnvoll, wenn Sie die niedrige Geschwindigkeitsgrenze einer Formel nehmen, um eine andere Formel zu erhalten, und dann eine hohe Geschwindigkeit an die zweite Formel anschließen, Sie nicht die erste Formel zurückbekommen. (Als Analogie: Wenn Sie das Niedrig-$x$Grenze von$\sin x$, bekommen$x$, und dann einstecken$x = 2\pi$, es wird nicht dasselbe sein wie$\sin(2\pi)$!)

Eine andere Sichtweise ist, dass Ihre zweite Hypothese richtig ist: die Formel$\frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}v} = mv$gilt nicht für Photonen, und Sie müssen etwas anderes integrieren. Dass etwas anderes ist eigentlich eine von Hamiltons Gleichungen , die in diesem Fall geschrieben werden kann

$$\frac{\partial E}{\partial p} = v$$

Um dies zu integrieren benötigt man natürlich noch$v$als Funktion von$p$, in gewissem Sinne verzögert dies also nur die wichtige Physik um einen Schritt. Die "wichtige Physik" ist folgende: Für ein Teilchen mit niedriger Geschwindigkeit (nicht relativistisch) können Sie verwenden$v = \frac{p}{m}$, aber für ein (relativistisches) Hochgeschwindigkeitsteilchen gilt diese Gleichung nicht. Sie müssen verwenden$p = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, oder Lösung für$v$,

$$v = \frac{pc}{\sqrt{m^2c^2 + p^2}}$$

Sie können sehen, dass$v = \frac{p}{m}$ist die Grenze mit niedrigem Impuls (oder hoher Masse) dieser Gleichung. Wie auch immer, wenn Sie das Integral machen, erhalten Sie die richtige relativistische Formel für Energie.

Die zweite Hypothese ist richtig. Für relativistische Teilchen (Photonen sind ein gutes Beispiel)$E=\frac{1}{2}mv^2$hält nicht . Stattdessen sollten Sie mit beginnen$E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$wie beim Photon. Der relativistische Impuls ist übrigens auch gegeben durch$p=\gamma mv$Wo$\gamma$ist der Lorentzfaktor:$\gamma=(\sqrt{1-v^2/c^2})^{-1}$.

Wenn Sie schließlich sehen wollen, wie die 'Newtonsche kinetische Energie'$E_k=\frac{1}{2}mv^2$auftaucht, schauen Sie sich Ron Maimons fantastische Antwort auf diese Frage an.