Impulserhaltung mit Photonen

Was immer diese Photonen aussendet, ist am Ende tatsächlich schneller. Es muss den gleichen Impuls mit weniger Masse haben, also ist seine Geschwindigkeit nach der Emission höher.

Beachten Sie, dass Sie vorsichtig sein müssen, was Sie meinen, wenn Sie zwei Photonen mit "dem gleichen Impuls" emittieren. Ist dies der gleiche Impuls im Referenzrahmen des ursprünglichen Objekts oder im Laborrahmen? Diese liefern ganz andere Ergebnisse.

Beachten Sie auch, dass Sie einige Missverständnisse über die Beziehung zwischen Masse und Energie haben – wir beschreiben das Photon normalerweise als masselos: Es hat Energie und Impuls, aber keine Masse. Statt$E=mc^2$, eine Formel wie$E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$trifft hier eher zu.

Sehen Sie sich dieses aktuelle Papier an . Es analysiert Ihr Problem (unten) mit einem quantisierten Atom und Feld. Die Schlussfolgerung lautet: Der Emitter verliert an Impuls, aber dieser Verlust hängt nicht mit einer Beschleunigung zusammen. Vielmehr ändert sich die Masse des Emitters.

Im Ruhesystem des Emitters kann er nicht beschleunigt werden, da er Photonen gleicher Frequenz in entgegengesetzte Richtungen aussendet. Aber zwei Detektoren der Photonen , die sich relativ zum Emitter bewegen, würden unterschiedlich dopplerverschobene Photonenfrequenzen sehen und daraus schließen, dass sich der Impuls des Emitters geändert hat. In der Tat, aber da es nicht beschleunigt werden kann, muss die Veränderung von der Masse ausgehen.

Sie können diesen Zerfall nicht mit der Newtonschen Mechanik erklären, da er, wie Sie betont haben, zu unphysikalischen Ergebnissen führt. Mit der speziellen Relativitätstheorie macht alles Sinn: Das Photon hat einen Viererimpuls$p^{\mu}$Wo$p^0 = E = c|\vec{p}|$Und$p^i$ist der$i$-te Komponente des Impulses (wie Sie sehen, habe ich in diesen Gleichungen keine Masse involviert).

Statt dessen hat das Teilchen vor dem Zerfall im „Laborrahmen“ Platz$p^0 = m \gamma c^2$und Schwung$p^i = m\gamma v_i$. Wenn das Teilchen Geschwindigkeit entlang der hat$\hat{x}$Achse also$p^1 = m\gamma v$Und$p^2 = p^3 = 0$.

Unter Verwendung des Vier-Impuls-Erhaltungsgesetzes (dh Energieerhaltung + Impulserhaltung) haben Sie:

Die Physik, die Sie daraus erhalten, ist, dass die beiden Photonen weder entgegengesetzte Impulse noch dieselbe Energie (im Laborrahmen) haben! Außerdem haben Sie 6 Variablen, aber nur 4 Gleichungen, was bedeutet, dass Sie die Emissionsrichtung nicht vorhersagen können.

Nehmen Sie einen Körper mit der Masse M und der Geschwindigkeit v, er hat den Anfangsimpuls Mv. Der Körper strahlt zwei Photonen aus

Der pi0 zum Beispiel.

von gleicher "Masse"

Die Masse von Photonen ist Null und für alle Photonen gleich.

in direkt entgegengesetzte Richtungen (eine in Bewegungsrichtung des Körpers, eine - entgegengesetzte Richtung).

Das ist falsch, unphysikalisch.

Wenn die Photonen in entgegengesetzte Richtungen gehen, befinden Sie sich per Definition im Massenschwerpunkt des zerfallenden Teilchens. Dies bedeutet einen Null-Anfangsimpuls für das zerfallende Teilchen.

Wenn das zerfallende Teilchen einen Impuls hat, beträgt der Winkel zwischen den beiden Photonen weniger als 180 Grad und sie tragen den ursprünglichen Impuls, wobei jedes Photon p = E / c hat, dh die Energie (Frequenz) der Photonen wird über die Energie in erhöht das Massenzentrum Rahmen.

Die unveränderliche Masse der beiden Photonen (dh der Vierervektor der Addition der beiden Vierervektoren) ist die Masse des ursprünglichen Teilchens (z. B. die pi0-Masse) und das System trägt den ursprünglichen Impuls.

Hier ist der Umriss eines pi0-Zerfalls in einer Blasenkammer (gehen Sie zum Index für pi0, um das vollständige komplizierte Bild und ein zweites Beispiel zu sehen)

Bearbeiten Sie nach dem Kommentar, dass es sich um einen Festkörper handelt, der zwei Photonen in entgegengesetzte Richtungen emittiert:

Auch hier ist die Masse jedes Photons Null. Es ist die Energie, die ein Photon beschreibt, und sein Impuls ist E/c. für zwei Photonen in gleicher und entgegengesetzter Richtung des bewegten Körpers,

E1/c-E2/c ist der Impuls, der dem Ganzkörperimpuls fehlt.

Wenn im Schwerpunktsystem des Körpers E1=E2 ist, wird kein Impuls übertragen. Die Energie des Körpers im Schwerpunktsystem (relativistisch berechnet) ist kleiner als die Energie E1+E2. In einem bewegten Bezugssystem wird der Impuls der Photonen dopplerverschoben in Bezug auf den Impuls im Massenzentrum.

Sie scheinen zu wollen, dass die beiden Photonen die gleiche Energie haben, was ich mit bezeichnen werde$E_\gamma$. Dann lautet die Erhaltung von Energie und Impuls

wobei gestrichene Buchstaben "nach Emission" bedeuten. Mit dem relativistischen Ausdruck von Energie und Impuls lautet diese Gleichung

Wo$\gamma=(1-v^2)^{-\frac{1}{2}}$und ähnlich für den grundierten. Beachten Sie, dass ich Einheiten verwende, bei denen die Lichtgeschwindigkeit ist$c=1$.

Ok, immerhin, wenn ich so weit gegangen bin, ist es dumm, so zu tun, als würde man den Rest als Übung belassen. Teilen Sie also die zweite Gleichung durch die erste, um zu erhalten

Deshalb$v'\ge v$. Die Gleichheit gilt für den Fall, wo$v=v'=0$, dh wenn die Analyse im Ruhesystem der Quelle erfolgt, die die beiden Photonen emittiert.

Beachten Sie das übrigens$m'< m$. Das liegt an eqn (P) da$u\mapsto (1-u^2)^{-\frac{1}{2}}u$steigt mit$u$. Nun, im gerade erwähnten Ruhesystem gilt diese Argumentation natürlich nicht, da (P) ist$0=0$aber dann wird Gl. (E).

und da$E_\gamma>0$, Wir haben noch$m>m'$.

Meiner Meinung nach kann ein Energie-Impuls-Diagramm (das Energie-Impuls-Analogon eines Raum-Zeit-Diagramms) verdeutlichen, was passiert. Ich habe es auf gedrehtem Millimeterpapier gezeichnet, damit die Lichtsignale leicht gezeichnet werden können. Außerdem lassen sich aus diesem Diagramm quantitative Berechnungen (oftmals mit diversen Formeln aus der Relativitätstheorie) ablesen... aber darauf gehe ich jetzt nicht ein.

Die Erhaltung des gesamten 4-Impulses erfordert:

Hier die Situation im Ruhesystem des Senders (Beobachter B).
In diesem Rahmen haben die Photonen die gleiche Energie und die gleiche Größe, aber einen entgegengesetzt gerichteten räumlichen Impuls.

Der 4-Endimpuls des Emitters muss kleiner sein als der 4-Anfangsimpuls des Emitters. Beachten Sie jedoch, dass die 4-Geschwindigkeit des Emitters (der "normalisierte 4-Impuls", der der 4-Impuls des Emitters geteilt durch die Ruhemasse des Emitters ist) unverändert bleibt.

Hier ist die Situation im Laborrahmen (Beobachter A), der den sich mitbewegenden Emitter beobachtet$\beta=3/5$[Zählen Sie von O aus 5 Rauten nach oben und 3 Rauten nach rechts, um dies zu sehen].
In diesem Rahmen haben die Photonen gemäß dem Doppler-Effekt (mit$\beta=3/5$, der Dopplerfaktor ist$k=2$).
Natürlich bewegt sich jedes Photon immer noch mit Lichtgeschwindigkeit.

Das Vorwärts-Photon im Laborrahmen hat
den doppelten 4-Impuls im Vergleich zum Vorwärts-Photon im Emitter-Rahmen.
Das Rückwärtsphoton im Laborrahmen hat
den halben 4-Impuls im Vergleich zum Rückwärtsphoton im Emitterrahmen.
(Geometrisch ist die Fläche des Dreiecks in beiden Rahmen gleich, wie es eine Lorentz-Transformation erfordert [deren Determinante gleich 1 ist].)

Wieder einmal sehen wir, dass der finale 4-Impuls des Emitters kleiner sein muss als der anfängliche 4-Impuls des Emitters. Und wieder ist die 4-Geschwindigkeit des Emitters (die der 4-Impuls des Emitters dividiert durch die Ruhemasse des Emitters ist) unverändert.

Im Laborrahmen bewegt sich der Emitter mit der gleichen Raumgeschwindigkeit, nachdem er die Photonen emittiert hat.

Wie @Luc im Kommentar vom 12. Oktober sagte, wenn Sie die räumliche Geschwindigkeit des Emitters ändern möchten, emittieren Sie Photonen unterschiedlicher Energien im Emitter-Frame.