Momentum als Generator von Übersetzungen

Question

Momentum als Generator von Übersetzungen

Kenshin

Ich verstehe aus einigen Studien in Mathematik, dass der Generator von Übersetzungen durch den Operator gegeben ist $\frac{d}{dx}$ .

Ähnlich weiß ich aus der Quantenmechanik, dass der Impulsoperator ist $-i\hbar\frac{d}{dx}$ .

Daher können wir sehen, dass der Impulsoperator der Generator von Übersetzungen ist, multipliziert mit $-i\hbar$ .

Mich interessiert jedoch, ob man argumentieren kann, wie "seit $\frac{d}{dx}$ der Generator von Übersetzungen ist, dann muss der Impulsoperator proportional zu sein $\frac{d}{dx}$ ". Wenn Sie ein solches Argument skizzieren könnten, glaube ich, dass dies mir helfen wird, die physikalische Verbindung zwischen dem Generator von Translationen und dem Impulsoperator in der Quantenmechanik zu verstehen.

Alexander Nelson

Nun, wenn Sie darüber nachdenken, Taylor-Erweiterung

p_{0}

$p_{0}$ ist wirklich

{\exp (i Δ p \partial_{x}) f (p) |}_{p = p_{0}} = f (p_{0} + Δ p)

$\left.\exp(i\Delta p\partial_{x})f(p)\right|_{p=p_{0}}=f(p_{0}+\Delta p)$ für einige konstant

Δ p

$\Delta p$ , mit

ℏ = 1

$\hbar=1$ . Das ist die allgemeine Idee hier

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Momentum als Generator von Übersetzungen

Nun, wenn Sie darüber nachdenken, Taylor-Erweiterung $p_{0}$ ist wirklich $\left.\exp(i\Delta p\partial_{x})f(p)\right|_{p=p_{0}}=f(p_{0}+\Delta p)$ für einige konstant $\Delta p$ , mit $\hbar=1$ . Das ist die allgemeine Idee hier

twistor59 · Answer 1

In der Ortsdarstellung sind die Matrixelemente (Wellenfunktion) eines Impuls-Eigenzustands

⟨ x | p ⟩ = ψ_{p} (x) = e^{ich p x}

$\langle x | p\rangle = \psi_p(x) = e^{ipx}$ Die Wellenfunktion wird um eine konstante endliche Translation verschoben

a

$a$ ist

ψ (x + a)

$\psi(x+a)$ Nun ist der Impulsoperator das Ding, das auf die Impuls-Eigenzustände einwirkt und den Wert des Impulses in diesen Zuständen zurückgibt, das ist klar

- i \frac{d}{d x}

$-i\frac{d}{dx}$ .

Für unseren Impuls-Eigenzustand, wenn ich ihn räumlich um einen infinitesimalen Betrag verschiebe $\epsilon$ , es wird

ψ (x + ϵ) = e^{ich p (x + ϵ)} = e^{ich p ϵ} e^{ich p x} = (1 + ich ϵ p + . . .) e^{ich p x}

$\psi(x+\epsilon) = e^{ip(x+\epsilon)} = e^{ip\epsilon}e^{ipx} = (1+i\epsilon p + ...)e^{ipx}$ dh die Verschiebung modifiziert ihn durch eine Erweiterung seines Impulswertes. Aber wenn ich Taylor erweitere

ψ (x + ϵ)

$\psi(x+\epsilon)$ , Ich bekomme

ψ (x + ϵ) = ψ (x) + ϵ \frac{d}{d x} ψ (x) + . . . = ψ (x) + ich ϵ (- ich \frac{d}{d x}) ψ (x) + . . .

$\psi(x+\epsilon)= \psi(x)+\epsilon \frac{d}{dx} \psi(x)+... = \psi(x)+i\epsilon(-i\frac{d}{dx})\psi(x)+...$ Dies ist also konsistent seit dem infinitesimalen räumlichen Verschiebungsoperator

- i \frac{d}{d x}

$-i\frac{d}{dx}$ ist genau der Operator, der den Impuls-Eigenwert herauszieht.

Obwohl das obige eine vereinfachte Version ist. Dieses Wiki hat einige gute Grundlagen zu den oben genannten. de.wikipedia.org/wiki/…
Diese Antwort zeigt, dass die Annahme $\langle x \vert p \rangle = e^{ixp}$ ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass $p$ ist der Übersetzungsgenerator. (Sie können von einem der beiden ausgehen und das andere ableiten.) Aber wenn ich die Frage lese, scheint es mir, als würde das OP nach etwas viel Grundlegenderem fragen.

Momentum als Generator von Übersetzungen

Kenshin

Alexander Nelson

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twistor59

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