Bezieht sich die kanonische Kommutierungsrelation auf die Tatsache, dass Impuls der Generator räumlicher Translationen ist?

Allgemein zwei selbstadjungierte Operatoren gegeben$A,B$, die Umwandlung von$A$unter der unitären Transformation$U_B(t) := \mathrm{e}^{\mathrm{i}Bt}$mit Parameter$t$generiert durch$B$durch den Satz von Stone ist für zentral gegeben$[X,Y]$durch eine Form der BCH-Formel :

$$U_B(t)AU_B(t)^\dagger = \mathrm{e}^{\mathrm{i}Bt}A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Bt} = A + [B,A]t$$ das heißt transformieren$A$von$B$verschiebt sich nur$A$durch den Kommutator der beiden, und selbst wenn der Kommutator nicht zentral ist, gilt dies immer noch für infinitesimal$t$. Dies ist die Quantenversion der klassischen Aussage, dass die Poisson-Klammer zweier Funktionen im Phasenraum die infinitesimale Verschiebung der einen durch die von der anderen erzeugte Transformation ergibt, vgl. diese Antwort von mir .

Im Fall von$x$Und$p$, der Kommutator ist Eins, transformiert also mit Parameter$t$verschiebt nur eine Beobachtbare um$t$. Das heißt, die Kommutierungsrelation ist in der Tat die quantenmechanische Version der Aussage, dass der Positionsoperator Verschiebungen im Impuls erzeugt und der Impuls Verschiebungen im Ort erzeugt.

Wenn man dagegen weiß, dass der Übersetzungsoperator durch den Impulsoperator infinitesimal gegeben ist, kann man die Form des Impulsoperators selbst ableiten, wenn die Darstellung des Positionsoperators festgelegt ist, siehe diese Frage . Inhalt des Stone-von-Neumann-Theorems ist im Wesentlichen, dass die Vertauschungsbeziehungen zwischen Ort und Impuls (bzw. deren potenzierte Form, die Weyl-Relation zwischen der Translation im Ort und der Translation im Impuls) eindeutig (bis auf Vertauschungsrelation erhaltende unitäre Isomorphie) sind ) behebt die Operatoren selbst.

Ja, es gibt eine tiefe Verbindung. Angenommen, Sie sagen mir das einfach$P$ist der Übersetzungsgenerator. Dann weiß ich, dass alle Positionsangaben$|r\rangle$erhältlich als

$$|x\rangle=\exp(iP\cdot x)|0\rangle$$ Dies kann verwendet werden, um die Aktion zu bestimmen $P$auf einem Ortseigenzustand. $$P|x\rangle=P\exp(iP\cdot x)|0\rangle=(-i\nabla_x)\exp(iP\cdot x)|0\rangle=(-i\nabla_x)|x\rangle$$ Damit kann ich die Kommutierungsrelation für jeden Positionszustand bestimmen $$[X,P]|x\rangle=XP|x\rangle-PX|x\rangle=X(-i\nabla_x)|x\rangle-(-i\nabla_x)X|x\rangle=i|x\rangle$$ Schließlich wissen wir, dass jeder Zustand als Superposition von Positionszuständen ausgedrückt werden kann $$[X,P]|\psi\rangle=[X,P]\sum_x \psi(x)|x\rangle=i|\psi\rangle$$ gilt für jeden Staat $|\psi\rangle$mit Wellenfunktion $\psi(x)$. Sie können die wiederherstellen $\hbar$überall, um Einheiten funktionieren zu lassen.

Angenommen, es gibt einen normalisierten Zustand$|s>$Wo$<s|s>=1$. Der Erwartungswert seiner Position ist

$$x_0=<s|X|s>$$

Wenn das Objekt |s> übersetzt wird durch$x$, der neue Zustand ist$e^{-\frac{ixP}{\hbar}}|s>$, und den Erwartungswert$x_{new}$seiner Position ist

$$x_{new}=<s|e^{\frac{ixP}{\hbar}}Xe^{-\frac{ixP}{\hbar}}|s>$$ Verwenden Sie dann die BCH- Formel (die nur die Exponentiale erweitert und Terme sammelt) $$x_{new}=<s|X+[\frac{ixP}{\hbar},X]+\frac{1}{2!}[\frac{ixP}{\hbar},[\frac{ixP}{\hbar},X]]+\frac{1}{3!}[\frac{ixP}{\hbar},[\frac{ixP}{\hbar},[\frac{ixP}{\hbar},X]]]+...|s>$$ Jetzt einwechseln $[P,X]=-i\hbar$und beachten Sie, dass die Mehrfachkommutatoren höherer Ordnung eine Konstante haben und daher Null sind. $$x_{new}=<s|X+x+0+0+...|s>$$ $$x_{new}=x_0+x$$ Wie angekündigt, der Übersetzungsoperator $e^{-\frac{ixP}{\hbar}}$mit der kanonischen Vertauschungsrelation $[X,P]=i\hbar$bewegte sich der Zustand damit, dass sich sein neuer Erwartungswert um erhöhte $x$. Der Generator der Transformation (dh: der Operator im Exponenten) ist P, der daher als Generator der Übersetzung bezeichnet wird.