Impulsdarstellungen in der Quantenmechanik

Warum erhalten wir Informationen über Ort und Impuls, wenn wir zu verschiedenen Darstellungen gehen. Warum ist der Impuls, der in der klassischen Physik mit der zeitlichen Ableitung des Ortes verbunden war, jetzt in der QM nur eine andere Darstellung, die durch eine einheitliche Transformation hervorgerufen wird? Ist der Satz von Ehrenfest die einzige Verbindung?

Ich habe gerade angefangen, QM zu studieren. Schlagen Sie daher bitte einige Referenzen vor, die die strukturellen Aspekte und verschiedenen Verbindungen erläutern. Ich möchte nicht mit nichtkommutativer Geometrie beginnen. Ich hätte gerne etwas einführendes und motivierendes.

Antworten (2)

Sie können Informationen für alle Observablen in jeder Darstellung erhalten. Der Grund, zu verschiedenen zu gehen, ist, dass es einfacher ist, mit ihnen zu arbeiten, je nachdem, was Sie tun. Sie sind alle nach dem Stone-von-Neumann-Theorem äquivalent, also ist es eine Frage der Bequemlichkeit.

Es gibt ein (mathematisches) Theorem, das ungefähr besagt, dass es für jeden Operator, der in der QM von Interesse ist, eine Darstellung des Operators als Multiplikationsoperator gibt, in dem er als Multiplikation mit einer Funktion wirkt. Im Koordinatenraum werden die Ortsoperatoren mit den Koordinaten multipliziert. Im Impulsraum ist es der Impuls, der als Multiplikation dargestellt wird. Dies gilt für alle QM-Beobachtbaren. Da sie nicht pendeln, gibt es leider (oder zum Glück) keine einzige Vertretung für alle. Daher verwenden die Leute mehr als einen.

Edit: Als Antwort auf den Kommentar. Dies wird wahrscheinlich in vielen Büchern geschrieben, aber hier ist eine Referenz. Schauen Sie sich Follands "Quantum Field Theory. A Tourist Guide for Mathematicians" an. Der erste Abschnitt von Kapitel 3 gibt eine schöne Motivation für die Verwendung selbstadjungierter Operatoren zur Modellierung von QM-Observablen.

Der Vollständigkeit halber wird der Satz Spektralsatz genannt und ist für allgemeine Operatoren ziemlich technisch, aber im Grunde ist es nur eine Diagonalisierung des Operators in der "Basis" von "Eigenvektoren" (Schreckenszitate, weil Operatoren auf unendlich dimensionalen Räumen keine haben müssen Eigenwerte oder Eigenvektoren).
Vielleicht war ich in meiner Frage nicht klar. Ich hätte fragen sollen, ob selbstadjungierte Operatoren beobachtbar sind. Sie können sagen, wir wollen echte Eigenwerte usw. Aber warum nehmen wir an, dass Eigenwerte eine Menge beobachteter Werte sind ... Ist dieser Rahmen notwendig - ich meine, können wir ableiten, dass es notwendig ist, sich mit linearen Operatoren, Eigenwerten aus einigen Annahmen zu befassen ... Und mein Problem in Bezug auf den Impuls war, warum die Fourier-Darstellung mit dem Impuls zusammenhängt, der in der Klassik einige Zeit abgeleitet war Physik.
@Ket: In diesem Fall habe ich deine Frage falsch verstanden. Sie können ein beobachtbares O durch Richtig-Falsch-Fragen der Form „Liegt der Wert von O in der Menge E?“ analysieren. für Borel-Sets E in R . Dies führt zu projektionsbewerteten Maßen auf R . Dann liefert der Spektralsatz (wieder) die Verbindungen zu selbstadjungierten Operatoren. Ich finde das natürlich, aber das ist subjektiv. Dies im Detail zu schreiben wäre mehr als ein Kommentar und wie gesagt habe ich deine Frage anders verstanden.

Lieber Ket, Momentum in QM ist nicht "nur eine andere Darstellung, die durch eine einheitliche Transformation hervorgerufen wird". Wie Sie wahrscheinlich bereits wissen, kann ein physikalischer Zustand in der Quantenmechanik nicht gleichzeitig einen wohldefinierten (scharfen) Impuls- und Positionswert haben; dies ist die Heisenbergsche Unschärferelation. Sie können jedoch immer noch die Erwartungswerte von Momentum und Position im selben Zustand messen. Auf der Ebene der Erwartungswerte erfüllen Impuls und Ort genau die gleiche Beziehung wie in der klassischen Physik; dies ist der Satz von Ehrenfest.

Wenn Sie von Repräsentationen und unitären Transformationen sprechen, meinen Sie wahrscheinlich die Wahl der Basis im Hilbert-Raum physikalischer Zustände. Aber das ist nur ein mathematisches Hilfsmittel: Um mit Vektoren aus dem Hilbertraum arbeiten zu können, bietet es sich an, eine Basis zu wählen und statt mit den abstrakten Vektoren mit den Koordinaten in dieser Basis zu arbeiten. Wenn Sie die Basis der Eigenzustände des Ortsoperators wählen, sind die "Koordinaten" die sogenannte Wellenfunktion. Sie können aber auch jede andere Basis wählen. Sie können in Impulsdarstellung arbeiten, entsprechend der Basis von Eigenzuständen des Impulsoperators, der tatsächlich durch eine unitäre Transformation (in der Mathematik Fourier-Transformation genannt) mit der Koordinatendarstellung zusammenhängt. Dies liegt daran, dass beide Basen orthogonal sind, durch Eigenzustände selbstadjungierter (hermitescher) Operatoren gebildet werden. Kann man aber auch verwendenjeder Grundlage, die nicht mit einem Betreiber einer Observable in Verbindung steht. Physikalisch sind die Erwartungswerte von Observablen (die unabhängig von der Wahl der Basis sind) und Beziehungen zwischen ihnen, die über den Satz von Ehrenfest äquivalent zu klassischen Bewegungsgleichungen sind.

Nur zwei Nit-Picks: 1) Diese "Basen" sind nicht ganz Basen und ihre Vektoren gehören nicht einmal zum Hilbert-Raum. Ich denke, dass es sich lohnt, jemanden, der gerade erst mit QM beginnt, darauf hinzuweisen, wenn auch nur als Kuriosum, das man sich merken sollte; 2) dass diese (und andere) Darstellungen so gut funktionieren, ist eine Folge des Stone-von-Neumann-Theorems , das garantiert, dass diese (und andere) Darstellungen unitär äquivalent sind. Dieser Satz versagt natürlich, wenn einige Annahmen entfernt werden, und führt zu interessanten Möglichkeiten von inäquivalentem Vakuum usw.
Ich verstehe, dass das Ehrenfest-Theorem erwartete Werte in Beziehung setzt. Aber mein Problem war, die Notwendigkeit im Rahmen mit Operatoren und ihren Eigenwerten zu verstehen, die physikalische Observablen, Werte darstellen ... welche Anforderungen die Notwendigkeit auferlegten ... und warum die klassischen Ergebnisse so herauskommen Beziehungen der erwarteten Werte ... Und in Bezug auf den Impuls, warum hängt die Fourier-Transformation mit dem Impuls zusammen? Alles ist in Ordnung, wenn ich nur dem axiomatischen Ansatz folge. Mein einziges Problem bestand darin, die Verbindungen von der klassischen zur Quantenphysik zu verstehen.
@Ket: Fühlen Sie sich mit der Hamiltonschen Mechanik wohl? Es ist ein Formalismus, der der Quantenmechanik sehr ähnlich ist. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Observablen (die nur Funktionen im Phasenraum sind) dort pendeln. Aber in der Quantenphysik brauchen wir Nicht-Kommutativität (wegen HUP), also ersetzen wir die Algebra der Funktionen (die kommutativ ist) durch eine Algebra der Operatoren, die (die nicht sein müssen). Aber bis auf dieses „Detail“ bleibt alles beim Alten.
@Marek: Ja, ich habe versucht, ein wenig symplektische Geometrie zu studieren. Sie sagen also, HUP diktiert eine nichtkommutative Algebra von Observablen. Danke dafür. Das scheint mein Problem zu beantworten. Ich werde darüber nachdenken. Nochmals vielen Dank .
@Marek: Diese Spitzfindigkeiten kenne ich natürlich. Wir scheinen uns nur nicht einig darüber zu sein, ob es wichtig ist, sie jemandem gegenüber zu erwähnen, der gerade begonnen hat, QM zu studieren :) @Ket: Wenn Sie eine Observable in einem physikalischen Zustand messen, erhalten Sie mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten unterschiedliche Ergebnisse. Der Erwartungswert ist nur das statistische Mittel dieser Werte. Bei einigen Zuständen erhalten Sie immer das gleiche Ergebnis, mit Wahrscheinlichkeit eins. Der Operator der Observablen ist natürlich so konstruiert, dass diese Zustände ihre Eigenzustände sind (und die entsprechenden Werte der Observablen die Eigenwerte).
@Ket: Nur ein Kommentar zum Kommentar von Marek zur Analogie von klassischer und Quantenmechanik. Betrachtet man für die Funktionen im klassischen Fall die Operation Piosson-Klammer statt Multiplikation, dann brauchen sie nicht zu kommutieren. Tatsächlich erfüllen sie Kommutierungsbeziehungen, die denen in der Quantenmechanik sehr ähnlich sind.
@Tomáš: Ich weiß, dass du es weißt :) Aber ich dachte, es kann nicht schaden, es zu erwähnen. @MBN: Guter Punkt, aber ich würde vorsichtig sein, wenn ich sage, dass Funktionen kommutativ sind. Wenn nicht ausdrücklich klargestellt wird, dass Sie im Poisson-Sinne meinen, wird dies zwangsläufig Verwirrung stiften. Es ist besser, die Nichtkommutativität nur für den Quantenfall zu reservieren (im Sinne der nichtkommutativen Geometrie, Quantendeformationen, Quantengruppen usw.).
@Marek: Können Sie mir sagen, wie genau HUP die Notwendigkeit nicht kommutativer Observablen einbringt. Zunächst einmal, was meinen Sie mit HUP, wenn Sie sich nicht im Rahmen von QM befinden.
@Ket: Vielleicht war das eine etwas starke Aussage. Ich habe tatsächlich keinen Beweis dafür, dass Sie nicht kommutative Observablen benötigen, um HUP zu integrieren. Sobald Sie jedoch Nichtkommutativität eingeführt haben, ist dies eine unvermeidliche Folge, dass bestimmte Observable nicht mit unendlicher Genauigkeit gemeinsam gemessen werden können. Was ich mit HUP meine: Ich meine die experimentelle Beobachtung über die Unmöglichkeit, unendliche Genauigkeit bei der Messung inkompatibler Observablen zu erreichen. Ein Framework braucht man nur, wenn man es als Folge von etwas anderem (bei QM als Folge der Nicht-Kommutativität) verstehen will.
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