Kann eine symmetrieerhaltende unitäre Transformation, die von einer trivialen SPT zu einer nicht-trivialen SPT geht, lokal sein?

Die trivialen und nicht-trivialen SPT-Zustände sind beide symmetrisch unter einheitlichen Symmetrietransformationen vor Ort. Die trivialen und nicht-trivialen SPT-Zustände können durch lokale unitäre Transformationen (die$U$in deiner Frage). Obwohl eine solche$U$ist eine lokale unitäre Transformation, 1. sie ist nicht vor Ort, 2. sie ist nicht die unitäre Symmetrietransformation vor Ort, 3. sie ist unter den Symmetrietransformationen vor Ort nicht symmetrisch.

Wenn zwei Zustände durch symmetrische lokale unitäre Transformationen ineinander abgebildet werden können, dann haben die beiden Zustände die gleiche SPT-Ordnung.

Hier gibt es einen wichtigen Unterschied, den die anderen Antworten meiner Meinung nach nicht angesprochen haben. Man kann das Einheitliche überprüfen$U$wie in der Frage angegeben ist in der Tat symmetrisch in dem Sinne, dass$[U,W(g)] = 0$, Wo$W(g)$ist die Darstellung der Symmetrie. Es ist auch eine lokale Einheit, in dem Sinne, dass man einen lokalen (möglicherweise zeitabhängigen) Hamilton-Operator finden kann$H(t)$so dass$U$ist die zeitliche Entwicklung von$H$,

(Wenn wir stattdessen eine lokale Einheit als Quantenschaltkreis mit endlicher Tiefe definieren, dann lautet die entsprechende Aussage$U$kann nicht als Quantenschaltkreis mit endlicher Tiefe geschrieben werden, in dem jede Schicht einzeln symmetrisch ist.)

Eine etwas andere (aber gleichwertige) Art, darüber nachzudenken, ist die$U$ist nur auf einem System ohne Grenzen symmetrisch. Wenn wir versuchen, es auf einem System mit Rand zu implementieren, stellen wir fest, dass es die Symmetrie brechen muss. Eine wirklich symmetrische lokale Einheit sollte die Symmetrie ungeachtet der Randbedingungen respektieren.

Es scheint, dass Sie dachten$\Phi_0$ist eine triviale SPT-Während$\Phi$ist nicht trivial. Ohne Definition der Symmetrietransformation ist dies nicht sinnvoll. Die Tatsache, dass$\Phi=U\Phi_0$bedeutet, dass beide Produktstatus sind ($U$ist eine ehrliche lokale einheitliche Transformation). Allerdings ist die Symmetrietransformation in den beiden Zuständen unterschiedlich definiert: z$\Phi$die Symmetriewirkung ist einfach$|g_i\rangle\rightarrow |gg_i\rangle$, während auf$\Phi_0$, ist die Symmetrieaktion viel komplizierter (ziehen Sie die einfache zurück auf$\Phi$von$U$). Beides sind also nichttriviale SPT-Phasen, wenn$\nu_3$ist ein nicht trivialer Kozyklus, aber mit unterschiedlichen Definitionen von Symmetrietransformationen. Mit anderen Worten, wenn wir von ausgehen$\Phi_0$mit "trivialer" Symmetrietransformation$|g_i\rangle\rightarrow |gg_i\rangle$, Umwandlung in$\Phi_0$von$U$, bekommt man immer noch eine triviale SPT-Phase.