Wie unterscheidet man einen topologischen Zustand von einem nicht-topologischen?

Konzepte der Berry-Krümmung und der Chern-Zahl sind der Schlüssel, um zu unterscheiden, was topologisch ist und was es nicht ist.

Betrachten wir einen Hamiltonian$\mathcal{H}$was eine Funktion von N zeitabhängigen Parametern ist$(\Gamma_1(t)\,...\,\Gamma_j(t)...\,\Gamma_N(t))\equiv\mathbf{\Gamma}(t)$. Die Entwicklung eines solchen Systems ist durch die Schrödinger-Gleichung gegeben:

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle=\mathcal{H}(\mathbf{\Gamma}(t))|\Psi(t)\rangle$$ In jedem Augenblick $t$, kann man die Lösung entlang der Eigenbasis von entwickeln $\mathcal{H}$, was bekannt sein sollte : $$|\Psi(t)\rangle=\sum_k\alpha_k(t)|\phi_k(\mathbf{\Gamma}(t))\rangle$$ Nehme an, dass $\mathbf{\Gamma}(t)$ändert sich allmählich in der Zeit und angesichts der Anfangsbedingung $|\Psi(t=0)\rangle=\alpha_i|\phi_i\rangle$, dann folgt das System adiabatisch dem $|\phi_i\rangle$Anfangszustand, so dass: $$|\Psi(t)\rangle\approx\alpha_i|\phi_i(\mathbf{\Gamma}(t))\rangle$$ Dann lautet die Schrödinger-Gleichung: $$\mathrm{i}\hbar\,\left[\dot{\alpha_i}+\dot{\mathbf{\Gamma}}\cdot\langle\phi_i(\mathbf{\Gamma})|\mathbf{\nabla}\phi_i(\mathbf{\Gamma})\rangle\right]=E_i(t)\,\alpha_i$$ Dieser Ausdruck hebt einen Schlüsselbegriff hervor, die Berry-Verbindung : $$\mathbf{\mathcal{A}}_i(\mathbf{\Gamma})=\mathrm{i}\hbar\,\langle\phi_i(\mathbf{\Gamma})|\mathbf{\nabla}\phi_i(\mathbf{\Gamma})\rangle$$ Die Lösung $\alpha_i(t)$liest sich dann so: $$\alpha_i(t)=e^{\mathrm{i}(\varphi_B+\varphi_d(t))}\alpha_i(0)$$ Wo $\varphi_d(t)=-\frac{1}{\hbar}\int^t_0\mathrm{d}s\,E_i(s)$ist die übliche dynamische Phase, und $\varphi_B$ist bekanntlich die Berry-Phase des Systems: $$\varphi_B=\frac{1}{\hbar}\int^t_0\mathrm{d}s\,\dot{\mathbf{\Gamma}}(s)\cdot\mathbf{\mathcal{A}}_i(\mathbf{\Gamma}(s))=\frac{1}{\hbar}\int^{\mathbf{\Gamma}(t)}_{\mathbf{\Gamma}(0)}\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}\,\cdot\mathbf{\mathcal{A}}_i(\mathbf{\Gamma})$$ Nehmen wir nun an, dass die zeitliche Entwicklung von $\mathbf{\Gamma}$beschreibt einen Kreisprozess, so dass $\mathbf{\Gamma}(0)=\mathbf{\Gamma}(T)$Wo $T$ist somit die Zeit, die das System benötigt, um einen Zyklus auf einem gegebenen Weg durchzuführen $C$.

Dann,

$$\varphi_B=\frac{1}{\hbar}\oint_C\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}\,\cdot\mathbf{\mathcal{A}}_i(\mathbf{\Gamma})=\frac{1}{\hbar}\oint_\Sigma\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}\,\cdot\mathbf{\mathcal{B}}_i$$ unter Verwendung des Satzes von Stokes auf einer geschlossenen Fläche $\mathbf{\Sigma}$, Wo $\mathbf{\mathcal{B}}_i=\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{\mathcal{A}}_i$ist die Berry-Krümmung .

Wenn Sie dann wissen wollen, ob Ihr System topologisch nicht trivial ist, müssen Sie nur rechnen$\varphi_B$, genauer gesagt die zugehörige Chern-Nummer :

$$\eta=\frac{\varphi_B}{2\pi}\in\mathbb{Z}$$ Wenn $\eta=0$, dann ist Ihr System topologisch trivial.

Beachten Sie, dass der obige Ansatz sehr allgemein ist, insbesondere wenn es um die geht$\mathbf{\Gamma}$Parameter, die beliebig sein können (Magnetfeld, Spin-Bahn-Kopplung, Laserstrahlstrahlung usw.), solange die Adiabatizität erhalten bleibt .