Wie kann man Worldsheet Fermion als Abschnitt verstehen?

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Wie kann man Worldsheet Fermion als Abschnitt verstehen?

Physik
Stringtheorie
mathematisch-physik
Topologische-Feld-Theorie

thone

Ich lese Wittens Artikel über topologische Zeichenfolgen und habe festgestellt, dass einige mathematische Notationen für mich schwer zu verstehen sind. Betrachten Sie das nichtlineare Sigma-Modell in zwei Dimensionen, die von Karten bestimmt werden $\Phi : \Sigma \rightarrow X$ mit $\Sigma$ eine Riemannsche Fläche und $X$ eine Riemann-Mannigfaltigkeit der Metrik $g$ . $z, \bar{z}$ sind lokale Koordinate auf $\Sigma$ und $\phi^I$ ist koordinieren an $X$ . $K$ und $\bar{K}$ sind kanonische und antikanonische Linienbündel von $\Sigma$ (das Bündel von Einsformen der Typen (1,0) bzw. (0,1)) und let $K^{1/2}$ und $\bar{K}^{1/2}$ .Die Fermifelder des Modells sind $\psi_{+}^I$ , ein Abschnitt von $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$ .

Ich kann die Abschnitte nicht verstehen $K^{1/2}$ , $\Phi^*(TX)$ und $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$ .

Aus meiner Sicht ist das Element von $K$ sollte folgende Form haben $\alpha_z dz\in K$ , und was ist das Element von $K^{1/2}$ ? Der Rückzug des Tangentenraums sollte eine Form haben $\Phi^*(\beta^i \frac{\partial}{\partial \phi^i})=\beta^i \frac{1}{\frac{\partial \phi^i}{\partial z} }\frac{\partial}{\partial z}$ . Aber in einigen Notizen scheint der Autor die (0,1)-Form anzugeben $\psi_-^i$ mit Werten drin $\Phi^*(T^{1,0} X)$ kann geschrieben werden als $\psi_{\bar{z}}^i$ befriedigend $\psi \supset \psi_{\bar{z}}^id\bar{z}\otimes \frac{\partial}{\partial \phi^i}$ . Das widerspricht meiner naiven Sichtweise. wo habe ich fehler gemacht Wie man die Abschnitte von versteht $K^{1/2}$ , $\Phi^*(TX)$ und $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$ ?

Danke im Voraus.

Benutzer1504

Zusätzlich zu den anderen Antworten sollte ich darauf hinweisen, dass man beim Lesen dieses Papiers darauf achten muss, ob Witten eine QFT oder die damit verbundene „verdrehte“ QFT diskutiert. Letzteres beinhaltet keine Quadratwurzeln des kanonischen Bündels. Sie können sich selbst verwirren, indem Sie versuchen, Formeln aus den verdrehten und unverdrehten Theorien zuzuordnen.

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Wie kann man Worldsheet Fermion als Abschnitt verstehen?

Zusätzlich zu den anderen Antworten sollte ich darauf hinweisen, dass man beim Lesen dieses Papiers darauf achten muss, ob Witten eine QFT oder die damit verbundene „verdrehte“ QFT diskutiert. Letzteres beinhaltet keine Quadratwurzeln des kanonischen Bündels. Sie können sich selbst verwirren, indem Sie versuchen, Formeln aus den verdrehten und unverdrehten Theorien zuzuordnen.

twistor59 · Answer 1

Im Allgemeinen das kanonische Bündel $K$ ist das Bündel von n-Formen auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit. Da Ihre Riemann-Fläche $\Sigma$ ist ein (komplex)dimensional, es ist nur das (Linien-)Bündel von holomorphen Ein-Formen. Die Quadratwurzel" $K^{\frac{1}{2}}$ ist das Bündel von Dingen, die sich auf eine Weise transformieren, die eine Art Quadratwurzel aus der Transformation der holomorphen Form ist. Wenn also unter einer Worldsheet-Koordinatentransformation (where $z$ ist eine lokale Koordinate an $\Sigma$ )

z \to e^{ich a} z

$z\rightarrow e^{i\alpha}z$ eine Eins-Form verwandelt sich als

ω \to e^{ich a} ω

$\omega\rightarrow e^{i\alpha}\omega$ dann wollen wir für die Quadratwurzel etwas Transformierendes als

ψ \to e^{ich \frac{a}{2}} ψ

$\psi\rightarrow e^{i\frac{\alpha}{2}}\psi$ Dies ist nur ein rechtshändiger Worldsheet-Spinor. Wenn es ein RH ist, ist es gekennzeichnet

ψ_{+}

$\psi_{+}$ und wenn es stattdessen mit a transformiert wird

- \frac{α}{2}

$-\frac{\alpha}{2}$ , es ist LH und bezeichnet

ψ_{-}

$\psi_{-}$

Jetzt möchten Sie auch, dass Ihre Entität Werte im Bündel übernimmt $\phi^{*}(TX)$ .

$\phi:\Sigma\rightarrow X$ ist eine Einbettung. In Gedanken an $\phi^{i}$ ; $i=1..N$ (wo $N$ ist die Dimensionalität von $X$ ) als Koordinaten an $X$ , dann hat Ihr gewünschtes Objekt einen Zielraumindex. So wäre zum Beispiel die rechtshändige Version der Komponenten $\psi^{i}_{+}$ , und der Abschnitt ist

ψ_{+}^{ich} (z) \frac{\partial}{\partial ϕ^{ich}}

$\psi^{i}_{+}(z)\frac{\partial}{\partial \phi^i}$

$\psi_+^i(z)\frac{\partial}{\partial\phi}$ scheint Werte aufzunehmen $TX$ statt $\Phi^*(TX)$ , warum nicht irgendeine Form von $\psi_+^i \frac{1}{\frac{\partial \phi^i}{\partial z} }\frac{\partial}{\partial z}$ ? Was ist der Unterschied der Abschnitte von $K^{1/2}$ , $\Phi^*(TX)$ und $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$ ?
Wenn ich ein Vektorbündel habe $V$ Über $X$ , dann die Faser des Pullback-Bündels $\phi^{*}(V)$ Über $p \in \Sigma$ ist nur die Faser von $V$ Über $\Phi(p)$ , also seit $\Phi$ Hier ist eine Einbettung, ich kann nur mit dem Bild arbeiten $\Sigma$ und beschränken Sie das betreffende Bündel (in diesem Fall das Tangentialbündel) auf dieses Bild.
Entschuldigung für das Wiederaufleben dieser Diskussion. Nur um sicherzugehen, dass ich das Ergebnis von all dem verstehe: Machen Sie die Spinors $\psi_{+}$ und $\psi_{-}$ entsprechen den Abschnitten der Spinorbündel $S=K^{1/2}$ und $S=\bar{K}^{1/2}$ beziehungsweise? Während $\psi^{i}_{+} \dfrac{\partial}{\partial \phi^{i}}$ und $\psi^{i}_{-} \dfrac{\partial}{\partial \phi^{i}}$ sind Abschnitte von $K^{1/2} \times \phi*(TX)$ und $\bar{K}^{1/2} \times \phi*(TX)$ bzw.?

David Bar Mosche · Answer 2

Spinoren sind Abschnitte des Spinorbündels. Die von Witten angegebene Zerlegung des Spinorbündels gilt auf Kähler-Mannigfaltigkeiten, von denen Riemann-Flächen Spezialfälle darstellen. Das Spinorbündel hat eine Strukturgruppe $SO(2N)$ , wo $N$ ist die komplexe Dimension der Kähler-Mannigfaltigkeit $M$ . Diese Gruppe reduziert sich aufgrund der Existenz einer Kähler-Struktur auf U(N). (Das bedeutet, wenn man den gekrümmten Raum auf die Dirac-Gleichung schreibt $M$ , hat es die Form einer geeichten Dirac-Gleichung im flachen Raum, die mit einem U(N)-Eichfeld gekoppelt ist).

Der Raum der Abschnitte des Spinorbündels gehört a $2^N$ dimensionale Spinordarstellung von $SO(2N)$ . Diese Darstellung zerfällt in eine direkte Summe aller antisymmetrischen Darstellungen der $SU(N)$ Faktor von $U(N)$ unter der Reduktion der Strukturgruppe. Aus Sicht der Dimensionszählung ist die $2^N$ Der dimensionale spinorale Repräsentationsraum ist isomorph zur äußeren Algebra $\Lambda^{(0, *)}(M)$ des holomorphen Tangentenbündels.

Das Auftreten der Quadratwurzel des kanonischen Bündels ist darauf zurückzuführen, dass der Beitrag der $U(1)$ Faktor von $U(N)$ Gruppe zur Dirac-Gleichung ist eine abelsche Verbindung, deren Krümmung gerade ist $\frac{N}{2}$ mal die Kähler-Struktur. Dieser Teil sorgt für den Spin $\frac{1}{2}$ Charakter der Fermionenfelder.

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