Moshes jüngste Fragen zur Formalisierung der Quantenfeldtheorie und -gitter als Definition der Feldtheorie erinnern mich an etwas, worüber ich mich gelegentlich beiläufig frage, und vielleicht kann mir diese Seite die Antwort geben. Gibt es Mathematiker, die daran arbeiten, die Quantenfeldtheorie zu definieren, indem sie mit einer strengen Definition von CFTs beginnen und von dort aus weiterarbeiten?
Der Grund, warum ich frage, ist, dass ich denke, dass die meisten von uns in der Physik so über die Quantenfeldtheorie denken (d. h. auf Wilsonsche Weise): Um eine QFT zu definieren, beginnt man mit einem UV-Fixpunkt und verformt ihn mit einigen relevanten Punkten Operator. Wenn Sie also eine allgemeine Theorie von CFTs hätten, wüssten Sie, wie CFTs auf externe Quellen für Betreiber reagieren, und eine allgemeinere QFT zu erhalten, würde "nur" bedeuten, eine räumlich homogene Quelle für einen Betreiber einzuschalten und zu sehen, wie sie reagiert .
Das andere Objekt, das wir untersuchen, ist die "effektive Feldtheorie", die Sie sich in dieser Sprache vielleicht als eine CFT vorstellen können, die als IR-Fixpunkt dient, zusammen mit einer Vorstellung von einer Äquivalenzklasse irrelevanter Operatoren, die sich von diesem Punkt weg "nach oben" verformen (sein agnostisch, ob Sie jemals einen UV-Fixpunkt erreichen).
Sehr (extrem) naiv würde ich vermuten, dass Mathematiker mehr Glück haben könnten, den Raum von CFTs zu studieren, als zu versuchen, mit allen QFTs zu beginnen. Und Sie können sich vorstellen, dass dieser Ansatz gut geeignet wäre für Fragen, die Physiker interessieren könnten (wie zum Beispiel, ob es einen " a -Satz" oder etwas Ähnliches gibt, analog zum c -Satz in 2 Dimensionen, der RG-Flüsse als irreversibel charakterisiert ).
Die axiomatische/algebraische/konstruktive Feldtheorie scheint sich gleichzeitig um alle Arten von Feldtheorien zu kümmern, und andere Mathematiker scheinen zu versuchen, interessante Strukturen in der Störungstheorie auszugraben, von denen ich nicht sicher bin, dass sie jemals zu Fortschritten im nichtstörungsverstehensbereich führen werden Theorie. Ich weiß, dass es einige Mathematiker gibt, die an CFTs arbeiten. (Ich habe diese MathOverflow-Frage gefunden , die zum Beispiel viele Links zu Arbeiten von Mathematikern zu CFTs enthält.) Aber ich frage mich, ob jemand versucht hat, an CFTs zu arbeiten , um QFT allgemeiner zu verstehen.
CFT besteht für die meisten Mathematiker - die sich für dieses Thema interessieren - derzeit aus dem Studium der Scheitelpunktoperatoralgebren, siehe diese Frage zum Mathematiküberlauf:
Etwas mehr zum Thema und der Arbeit einiger Mathematiker finden Sie hier:
Wie Sie den Antworten auf mathoverflow entnehmen können, wurden Scheitelpunktalgebren nicht für das Studium der CFT erfunden, und dass sie eine axiomatische Abstraktion von Produkten der Operatoralgebra bilden, wurde erst später festgestellt.
Eine persönliche und sehr subjektive Anmerkung: Man sollte den Umfang der theoretischen Physik nicht unterschätzen, der notwendig ist, um zu verstehen, was eine QFT für Physiker ist. Die meisten Mathematiker, die zum ersten Mal seit der Highschool durch ein QFT-Framework mit Physik in Berührung kommen, scheinen ziemlich überrascht von der hohen Eintrittsgebühr zu sein, die sie zahlen müssten, um dies zu verstehen. Dies ist meine persönliche Erklärung für die Beobachtung, dass die meisten Mathematiker die formale Maschinerie nur studieren, um damit einige neue mathematische Theoreme zu beweisen, aber nur sehr selten, um besser zu verstehen, was Physiker tun. Obwohl Sie ziemlich viel Arbeit von ziemlich vielen ziemlich berühmten Mathematikern finden werden, wenn Sie den obigen Links folgen, gibt es AFAIK keine, die die von Ihnen beschriebene Arbeit machen.
Lubos Motl
Benutzer566
Columbia
Benutzer1504