Üblicherweise wird beispielsweise gesagt, dass QED keine wohldefinierte QFT ist. Es muss eingebettet oder vervollständigt werden, um es konsistent zu machen. Die meisten dieser Argumente laufen darauf hinaus, die Renormierungsgruppe zu verwenden, um die Kopplung auf einen großen Maßstab zu extrapolieren, wo sie formal unendlich wird.
Zunächst erscheint es mir bizarr, die Renormalisierungsgruppe zu verwenden, um die Auflösung zu erhöhen (zu höheren Energien zu gehen). Das Verschmieren im RG-Verfahren ist irreversibel, und das RG kennt die nicht universellen Teile der Theorie nicht, die bei höheren Energien wichtig sein sollten.
Ich habe in einer Notiz von Weinberg gelesen, dass Kallen anhand der spektralen Darstellung des Propagators zeigen konnte, dass QED krank war. Im Wesentlichen wertete er einen kleinen Teil der spektralen Dichte aus und zeigte, dass diese die Ungleichungen für die Feldstärke verletzt die durch Unitarität + Lorentz-Invarianz auferlegt werden, aber ich habe keine Referenz.
Was ich also wissen möchte ist:
Was braucht es, um tatsächlich festzustellen, dass ein QFT nicht wohldefiniert ist?
Mit anderen Worten, wenn ich eine willkürliche Lagrange-Funktion aufschreibe, welchen Test sollte ich durchführen, um festzustellen, ob die Theorie tatsächlich existiert? Sind asymptotisch freie Theorien die einzigen wohldefinierten?
Mein anfänglicher Gedanke war: Wir möchten QED (oder eine andere schlecht definierte Theorie) erhalten, indem wir die RG auf eine Verformung einiger UV-CFT anwenden. Möglicherweise gibt es keine CFT mit dem richtigen Operatorinhalt, sodass wir QED aus dem RG-Fluss erhalten. Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das konkretisieren soll.
Jede Hilfe ist willkommen.
Wenn jemand sagt, dass eine bestimmte QFT nicht gut definiert ist, bedeutet dies normalerweise, dass effektive QFTs, die in Bezug auf diese physikalischen Variablen geschrieben wurden, keine Kontinuumsgrenze haben. Dies bedeutet nicht, dass diese Feldvariablen nicht für Berechnungen nützlich sind, sondern dass die Berechnungen, die mit diesen physikalischen Variablen durchgeführt werden, nur als effektive Beschreibung/Annäherung an eine andere Berechnung, die mit einem anderen Satz von Variablen durchgeführt wird, vollständig sinnvoll sein können. (Denken Sie daran, eine Erweiterung in einer Basis durchzuführen und nur Terme beizubehalten, von denen Sie wissen, dass sie große Beiträge zu dem leisten, was Sie zu berechnen versuchen.)
Eine lustige und zirkuläre Art, dies zu sagen, ist, dass eine QFT gut definiert ist, wenn sie eine effektive Beschreibung ihrer selbst auf allen Längenskalen sein kann.
Sie haben Recht, dass es etwas pervers ist, über den Renormalisierungsfluss in Bezug auf die Erhöhung der Auflösung zu sprechen. Aber es gibt eine (n umgekehrt) verwandte Geschichte in Bezug auf die abnehmende Auflösung. Angenommen, Sie haben eine Reihe von Feldern und eine Lagrange-Funktion (aus Gründen der Konkretheit auf einem Gitter, aber Sie können ähnliche Beschreibungen für andere Regularisierungen erfinden). Sie können versuchen, die Korrelationsfunktionen aufzuschreiben und ihre Ferngrenzen zu untersuchen. Ihre Kurzstrecken-QFT ist nicht gut definiert, wenn sie nur in eine freie Theorie ausfließt.
Wenn Leute davon sprechen, dass Koeffizienten explodieren, stellen sie sich vor, dass sie eine Renormalisierungsbahn gewählt haben, die denselben grundlegenden Satz von Feldern auf allen Entfernungsskalen beinhaltet. Der Übergang zu einer nicht-wechselwirkenden Theorie bedeutet, dass – entlang dieser Bahn – die Wechselwirkungen auf kürzeren Distanzskalen stärker werden müssen. Dies in der Praxis zu testen, kann schwierig sein, insbesondere wenn Sie auf ein hohes Maß an Strenge in Ihren Argumenten bestehen.
Nicht alle wohldefinierten Theorien sind asymptotisch frei. Konforme Feldtheorien sind sicherlich wohldefiniert, aber sie können interagieren und diese sind nicht asymptotisch frei.
QMechaniker
Jerry Schirmer