Übertragen von CFT-Korrelationen von R3R3\mathbb{R}^3 nach S3S3S^3

Question

Übertragen von CFT-Korrelationen von R3R3\mathbb{R}^3 nach S3S3S^3

Benutzer6818

Es scheint eine einfache Methode zu geben, um die Korrelationen einer CFT zu übertragen $\mathbb{R}^3$ Zu $S^3$ aber ich verstehe nicht warum das funktionieren soll.

Die Idee ist, dass irgendwie, weil, $ds^2_{S^3} = \frac{4}{(1 + \vert \vec{r} \vert^2 )^2}ds^2_{\mathbb{R}^3 }$ Daraus folgt, dass alles, was man tun muss, darin besteht, alle Vorkommen von zu ersetzen $\vec{r} - \vec{r}'$ von $\frac{2(\vec{r} - \vec{r}') }{\sqrt{ (1 + \vert \vec{r} \vert ^2 )(1 + \vert \vec{r}' \vert ^2 ) } }$

Warum soll das funktionieren?
Was ist die notwendige Beziehung zwischen den beiden CFTs, damit dies funktioniert?

(Wenn man dies zum Beispiel auf die freie Skalarfeldtheorie anwendet, stellt sich heraus, dass dies für die Laplace-Operatoren gilt $\mathbb{R}^3$ oder $S^3$ die beiden 2-Punkt-Funktionen erfüllen jeweils unterschiedliche PDEs und stammen daher von zwei verschiedenen Lagrange-Funktionen - da wir sowieso wussten, dass die Lagrange-Funktion für den konform gekoppelten Skalar auf dem flachen Raum nicht dieselbe ist wie die Lagrange-Funktion für den konform gekoppelten Skalar auf $S^3$ )
Ist es Teil einer allgemeinen Idee, die zwischen anderen Mannigfaltigkeitspaaren funktionieren würde?

Trimok

Ich nehme an, man könnte eine stereografische Projektion aus verwenden

S^{3}

$S^3$ Zu

R^{3}

$R^3$ , wobei diese Abbildung konform ist.

Benutzer6818

@Trimok Kannst du das etwas näher erläutern? Wie ist man auf diese Karte gekommen? Und für welche Art von CFTs zwischen welchen Arten von Verteilern wäre so etwas zulässig?

Trimok

Ich hatte keine genaue Vorstellung, aber ich stelle fest, dass die

d s_{S^{3}}^{2}

$ds^2_{S^3}$ Die von Ihnen angegebenen Metriken entsprechen einer stereografischen Projektion:

ϕ (x, y, z, w) = (\frac{x}{1 - w}, \frac{y}{1 - w}, \frac{z}{1 - w})

$\phi(x,y,z,w) = (\frac{x}{1-w},\frac{y}{1-w} ,\frac{z}{1-w})$ , Und

ϕ^{- 1} (a, b, c) = (\frac{2 a}{1 + r^{2}}, \frac{2 b}{1 + r^{2}}, \frac{2 c}{1 + r^{2}}, \frac{- 1 + r^{2}}{1 + r^{2}})

$\phi^{-1}(a,b,c) = (\frac{2a}{1+r^2}, \frac{2b}{1+r^2}, \frac{2c}{1+r^2}, \frac{-1+r^2}{1+r^2})$ , mit

r^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

$r^2=a^2+b^2+c^2$

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Ich nehme an, man könnte eine stereografische Projektion aus verwenden $S^3$ Zu $R^3$ , wobei diese Abbildung konform ist.
@Trimok Kannst du das etwas näher erläutern? Wie ist man auf diese Karte gekommen? Und für welche Art von CFTs zwischen welchen Arten von Verteilern wäre so etwas zulässig?
Ich hatte keine genaue Vorstellung, aber ich stelle fest, dass die $ds^2_{S^3}$ Die von Ihnen angegebenen Metriken entsprechen einer stereografischen Projektion: $\phi(x,y,z,w) = (\frac{x}{1-w},\frac{y}{1-w} ,\frac{z}{1-w})$ , Und $\phi^{-1}(a,b,c) = (\frac{2a}{1+r^2}, \frac{2b}{1+r^2}, \frac{2c}{1+r^2}, \frac{-1+r^2}{1+r^2})$ , mit $r^2=a^2+b^2+c^2$

David Bar Mosche · Answer 1

Beide $\mathbb{R}^3$ Und $S^3$ sind explizit symmetrische Räume vom Rang 1, als homogene Räume sind sie gegeben durch:

R^{3} = ICH S Ö (3) / S Ö (3)

$\mathbb{R}^3 = ISO(3)/SO(3)$

Und

S^{3} = S Ö (4) / S Ö (3)

$S^3 = SO(4)/SO(3)$

Die Bedeutung davon, dass sie Rang-1-symmetrische Räume sind, besteht darin, dass es nur eine „Zwei-Punkte“-Invariante auf ihnen gibt, dh jede Funktion von zwei Punkten $r_1$ Und $r_2$ invariant unter der Automorphismusgruppe ( $ISO(3)$ im Fall von $\mathbb{R}^3$ Und $SO(4)$ im Fall von $S^3$ ) muss eine Funktion einer einzigen Zweipunkt-Invariante sein, die als geodätischer Abstand angenommen werden kann:

D (R_{1}, R_{2}) = | R_{1} - R_{2} |

$d(r_1, r_2) = |r_1-r_2|$

im Fall von $\mathbb{R}^3$ Und

D (R_{1}, R_{2}) = \frac{| R_{1} - R_{2} |}{\sqrt{1 + {\frac{R_{1}}{R}}^{2}} \sqrt{1 + {\frac{R_{2}}{R}}^{2}}}

$d(r_1, r_2) = \frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{1+\frac{r_1}{R}^2}\sqrt{1+\frac{r_2}{R}^2}}$

In den stereographischen Projektionskoordinaten von $S^3$ ( $R$ ist der Radius der Kugel).

Daher ist diese Ersetzung die natürliche, die angenommen werden muss, um die Invarianz beizubehalten. Auch in der Grenze, wo der Radius der Kugel gegen unendlich geht, die $\mathbb{R}^3$ Funktionen erhalten werden

Tiefer, $ISO(3)$ erhalten Sie bei $SO(4)$ durch einen Verformungsprozess namens Wigner-İnönü-Kontraktion. Bitte lesen Sie den folgenden erklärenden Artikel von Shu-Heng Shao. Dies ist eine singuläre Grenze, von der man keine glatten Abbildungen erwarten kann $R \leq \infty$ Zu $R = \infty$ schließlich ist die Topologie anders.

Aus diesem Grund kann man nicht erwarten, dass die Kontraktion von Gruppenrepräsentationen eins zu eins ist, bitte lesen Sie diesen kürzlich erschienenen Artikel von B. Cahen über die Kontraktion von Gruppenrepräsentationen. Beispielsweise sind unitäre irreduzible Darstellungen von nicht kompakten Gruppen unendlich dimensional, während für kompakte Gruppen endlich dimensional, aber es ist bekannt, dass die diskreten Darstellungen der nicht kompakten Gruppen in die Grenze zu den (immer diskreten) Darstellungen der kompakten Gruppen gehen.

Nun können zwei Punktfunktionen in Summen von Eigenfunktionen der Laplaceschen Trägergruppendarstellungen zerlegt werden.

Ein berühmtes Beispiel ist der durch die Eigenwerte des Laplace-Operators zerlegbare Wärmekern, der im semiklassischen Limes allein von der geodätischen Distanz abhängt:

K (R_{1}, R_{2}, β) = \sum_{N} ψ_{N}^{*} (R_{1}) ψ_{N} (R_{2}) e^{- β E_{N}} \sim H e S S ich A N (D (R_{1}, R_{2})^{2}) e^{- \frac{D (R_{1}, R_{2})^{2}}{4 β}}

$K(r_1, r_2, \beta) = \sum_{n} \psi_n^*(r_1)\psi_n(r_2) e^{-\beta E_n} \sim \mathrm{Hessian}(d(r_1,r_2)^2)e^{-\frac{d(r_1,r_2)^2}{4\beta}}$

Wo $\psi_n$ ist die der Energie entsprechende Eigenfunktion des Laplace-Operators $E_n$ . Diese Funktionen tragen Darstellungen der Automorphismusgruppe, die bei der Kontraktion Grenzen haben.

Um also die analoge Zweipunktfunktion auf der Kugel zu erhalten, sollten die harmonischen Funktionen durch die entsprechenden Eigenfunktionen des Laplace-Operators auf der Kugel ersetzt werden. In diesem Fall erhält man automatisch die geodätische Entfernung auf der Kugel im Grenzbereich.

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