In praktisch jeder Referenz zur konformen oder kohomologischen Feldtheorie werden Sie irgendwann eine Formel wie die folgende finden:
Hier, ist die Worldsheet-Metrik, ist der Energie-Impuls-Tensor, und sind einige lokale physikalische Operatoren. Naiverweise können wir dies ableiten, indem wir einfach die Korrelationsfunktion als Pfadintegral über Felder ausdrücken und direkt die Variationsableitung nehmen. Wenn Sie jemals explizit mit irgendwelchen Theorien gearbeitet haben, bekommen Sie eine gute (z. B. im CFT-Fall, einer, der die richtigen Kommutatoren mit sich selbst und Primärfeldern hat) müssen Sie eine Auswahl der Reihenfolge angeben, um zusammengesetzte Operator-Singularitäten zu vermeiden. Wie berücksichtigt das Pfadintegral-Argument dies? Ich bin versucht, es einfach wegzuwinken und zu sagen, dass die korrekte Definition des Pfadintegralmaßes eine Abhängigkeit von enthält und das sorgt dafür kommt richtig heraus, aber das scheint viel zu skizzenhaft. Im CFT-Fall ist dies nicht so wichtig, da das Pfadintegral in den Hintergrund tritt, aber in TQFTs sind diese Art von formalen Argumenten hilfreich, um zu beweisen, dass topologische Invarianten tatsächlich invariant sind, daher bin ich neugierig, wie man die formalen Allgemeinheiten verbindet mit den praktischeren Überlegungen wie der Bestellung.
Allgemeiner gesagt, wenn wir uns mit anderen wichtigen Objekten wie Superladungen befassen, die zusammengesetzte Operatoren sein können, wie berücksichtigt das Pfadintegralbild die richtige Reihenfolge? Es scheint einfach genug, nur die korrekt geordneten Operatoren als unsere Definition zu nehmen, aber wie können wir sicher sein, dass das Pfadintegral mit dieser Definition übereinstimmt?
Das allgemeine Prinzip ist, dass es nur dann konsistent ist, der Aktion einen normal geordneten Operator hinzuzufügen, wenn die normale Ordnung durch eine geeignete Wahl von Gegenbegriffen rückgängig gemacht werden kann. (Dies wird hier in allen Einzelheiten erklärt: https://arxiv.org/abs/1512.02604 . Weitere Informationen zum üblichen Begriff der normalen Bestellung im Gegensatz zur „vollständigen normalen Bestellung“ finden Sie in v1 dieses Papiers.)
Beispielsweise können Sie im Fall einer 2D-Freifeldtheorie (z. B. Superstrings in flachen Hintergründen) die normale Reihenfolge von rückgängig machen (oder Sie können es umgekehrt implementieren), indem Sie der 2d-kosmologischen Konstante einen Gegenterm hinzufügen. Da ich mich an ein möglicherweise breiteres Publikum wende, werde ich auch erwähnen, dass letzteres zwar die konforme Invarianz klassisch bricht, aber in jedem Fall erforderlich ist, um die konforme Invarianz auf der Quantenebene zu bewahren. Um genau zu sein, impliziert dies, dass eine 2d-kosmologische Konstante durch das Pfadintegralmaß (durch das Polchinski-Prinzip der Ultralokalität) erzeugt wird. Aus diesem Grund ist Ihr handwinkendes Argument auch richtig.
Wenn Ihre Theorie nicht frei ist, gilt das gleiche Prinzip wie im ersten Absatz erwähnt, aber hier reicht die normale Ordnung nicht aus, um einen wohldefinierten zusammengesetzten Operator zu haben.
AccidentalFourierTransform