Fehlt "typischen" QFTs eine Lagrange-Beschreibung?

Nach meiner Lektüre Ihrer Frage scheinen Sie verwechselt zu haben, was wir eigentlich mit dem Wilsonschen Ansatz, einer QFT und einer Lagrange-Dichte meinen, also werde ich mich hoffentlich der Reihe nach mit ihnen befassen, und ich hoffe, es hilft.

Der Wilsonsche Ansatz für QFT kann verwendet werden, um zwei Dinge zu tun, das erste ist der häufiger verwendete und angewandte Fall in der Teilchenphysik, der darin besteht, die RG-Flüsse der Kopplungskonstanten zu finden, was wiederum Divergenzen in reduziert (oder beseitigt). Theorie, indem sie eine Schwächung der Kopplung bei höheren Energien ermöglicht und somit die Wirkung von Schleifenkorrekturen verringert. Die andere Anwendung, für die ich die Wilsonsche Technik verwende, sind EFTs. Dies ist der Prozess, Korrekturen höherer Ordnung in die Theorie zu integrieren und dann eine Polynomerweiterung zu verwenden, um die Lagrange-Funktion der Aktion anzunähern. Beide Prozesse sind letztlich gleich, nur mit unterschiedlichem Ergebnis. Im ersteren Fall absorbieren wir alle zusätzlichen Terme in die RG-Flüsse und im letzteren Fall nehmen wir lokale Kontaktterme in die Theorie auf, die den hohen Energiebeitrag zum Niedrigenergieverhalten ausdrücken.

Dies führt dann zu Ihren Fragen zur Schwerkraft und "typischen" QFTs. Im Falle der Schwerkraft verwenden die meisten Berechnungen irgendeine Art von EFT (es gibt Ausnahmen, aber sie sind keine QFTs im strengsten Sinn der Bedeutung). Wir verwenden die EFT, weil wir Niedrigenergie-Korrekturen des Gravitationsverhaltens auf einem statischen Hintergrund untersuchen können, ohne Effekte höherer Energie zu ignorieren. JEDOCH schreiben wir im Gravitationsfall tatsächlich zuerst die EFT auf und verwenden diese dann, und das liegt daran, dass wir keine UV-vollständige Gravitationstheorie haben und wir daher nur sicher sein können, dass die EFT korrekt ist. Derzeit gibt es Bemühungen von Forschern am Imperial College, EFTs und S-Matrix-Postulate zu verwenden, um etwas Wissen über die vollständige UV-Aktion zu erlangen (es lohnt sich, zu googlen). Wenn also ein QFT

Das andere Argument wäre, dass in der QFT die grundlegende Theorie nicht in Form einer Lagrange-Funktion, sondern in Form einer Aktion geschrieben werden sollte, da dies normalerweise die einzige eichinvariante Größe ist, die wir aufschreiben können. Das Rarita-Schwinger-Freifeld ist ein Beispiel dafür. Daher ist der Lagrange-Ansatz eigentlich ziemlich selten, wenn man über kompliziertere QFTs nachdenkt, weil sie einfach nicht die Eigenschaften haben, die wir benötigen, um sie zu verwenden, und außerdem werden sie oft in nicht statischen (oder fast nicht statischen) Raumzeiten schlecht definiert weil sie haben keine gut definierte metrische Entwicklung ohne das Maß der Aktion. Daher erfordern diese Theorien die explizite Anwendung des Variationsprinzips, um ihre Physik aufzudecken.

Kurz gesagt, eine "typische" QFT hat keine Lagrange-Funktion, weil das Universum einfach zu kompliziert ist. Wir können nur mit Aktionen und EFTs wirklich arbeiten, wobei gesagt wird, dass einfache Systeme eine Lagrange-Methode haben, die eine Lagrange-Behandlung zulassen, aber CFTs sind kein solches System.

Ich würde sagen, eine minimalistische Anforderung für eine QFT wäre die Möglichkeit, die S-Matrix auf irgendeine Weise zu definieren und zu berechnen (möglicherweise mit Einheitlichkeit: Sie können beispielsweise die Lokalität, die lokale Poincarè-Invarianz und möglicherweise die Mikrokausalität lockern). Wenn Sie die Quantenfelder Ihrer Theorie in der Umgebung, in der Sie arbeiten, definieren können (die Kommutierungsbeziehungen könnten Ihnen Schwierigkeiten bereiten, je nachdem, wie sehr Sie die Standardannahmen lockern), sollten Sie in der Lage sein, zur Lagrange-Funktion zu gelangen, indem Sie sie als die betrachten Generator der Operatoren, die in der Theorie vorkommen (durch die gelockerten Versionen der Zeitentwicklung oder das Pfadintegral).

Diese Operatoren könnten mit einiger Freiheit in ihren Definitionen aus der S-Matrix gelesen werden: Sie könnten jeden Korrelator als einen anderen Operator nehmen oder Sie könnten sich eine Teilmenge von Operatoren ausdenken, die alle anderen generiert. Diese Operatoren (oder eine Zusammenfassung einiger von ihnen) können nicht lokal sein oder die standardmäßigen Lagrange-Anforderungen umgehen (z. B. Renormierbarkeit).

Beachten Sie jedoch, dass Ihr Hintergrund in der Standard-QFT ein stationärer Punkt der Aktion sein sollte, dh die Euler-Lagrange-Gleichungen für eine klassische Lagrange-Funktion erfüllen sollte. Das Vorwissen über einen "klassischen" Lagrange, aus dem sich der Hintergrund ergibt, ist relevant, da es darauf hinausläuft, Ihr Problem mit dem Vakuum als Hintergrund neu formulieren zu können. Es sollte im Allgemeinen möglich sein, mit dieser Lockerung der Standardannahmen umzugehen (insbesondere denke ich hier an einen skalaren Lagrangian); der andere Beitrag zur Lagrange-Funktion, der aus der Untersuchung der S-Matrix stammt, sind Korrekturen an der "Hintergrund-Lagrange-Funktion".

Das Verhalten der Theorie bei Änderung der Energieskala sollte zunächst in die S-Matrix aufgenommen werden.

Abschließend habe ich den Eindruck, dass es Situationen geben kann, in denen das Definieren von Feldern und ihren Vertauschungsbeziehungen schwierig ist und eine standardmäßige Lagrange-Behandlung verhindert, selbst wenn Sie in der Lage sind, Operatoren und Korrelatoren zu definieren.

Ich hoffe, dieser Standpunkt kann Ihnen helfen, Ihre Zweifel zu klären.