Monströser Moonshine außerhalb der Stringtheorie

Das ist eine sehr gute Frage und eine, die ziemlich schwer zu beantworten ist. In der Physik dient die Verwendung einer Gruppe normalerweise dazu, eine Symmetrie des physikalischen Systems zu beschreiben. Was wir über das Monster wissen, ist, dass es eine nicht triviale Aktion in 196883 Dimensionen hat. Mit anderen Worten, die Monstergruppe ist die Symmetrie eines 196883 dimensionalen Objekts. Die Hoffnung von Monster moonshine für einen Stringtheoretiker war, dass es einige der Symmetrien der Stringtheorie hervorheben würde, über die wir sehr wenig wissen.

Eine Anwendung, die einem sofort in den Sinn kommt, ist die Codierungstheorie und Fehlerkorrektur, und viele andere Mondscheine (Conway-Gruppe, Mathieu-Gruppe) könnten ein Licht auf diese Anwendung werfen, aber es gibt einige Inspirationen aus dem Monster-Mondschein.

Schauen wir uns das Leech-Gitter an,$\Lambda_{24}^L$. Es ist ein 24-dimensionales, unimodulares, sogar selbst-duales Gitter (dessen Automorphismus-Gruppe zufällig ist$Co_0$, eine andere sporadische Gruppe). Nimmt man die CFT von 24 freien Bosonen kompaktiert auf dem Leech-Gitter mit einem weiteren auf$\mathbb Z_2$Orbifold (das war eigentlich glaube ich die erste Konstruktion des asymmetrischen Orbifold), die resultierende Vertex-Operator-Algebra, bekannt als Griess-Algebra, hat eine Automorphismus-Gruppe, die das Monster ist. Die Partitionsfunktion dieser VOA ist Klein$j-$Funktion (minus eine Konstante). Das Leech-Gitter hat jedoch Anwendungen auf Dinge außerhalb der stringtheoretischen Einstellungen. In der Codierungstheorie/Informationstheorie. Der Golay-Code steht hier im Mittelpunkt. es ist ein Binärcode aus 24 Buchstaben, der drei Fehler korrigieren kann. Die erweiterte Version dieses Golay-Codes, der ein 24-dimensionaler Code ist, kann natürlich in das Leech-Gitter eingebettet werden, für das wir bereits einige gruppentheoretische Eigenschaften kennen. Dieser Golay-Code erscheint tatsächlich im Ramond-Ramond-Grundzustand von$\mathcal N = 4$Stringtheorie mit$K3$Ziel und ist daher mit Moonshine (Mathieu Moonshine) verwandt. ( Harvey, et.al. , Harvey, Moore (2020) ) Eine wirklich interessante Verwendung des Golay-Codes war der Flug der Voyager.

Diese Fehlerkorrekturcodes können auch auf Darstellungen von Superalgebren verallgemeinert werden. Ein Schlüsselaspekt dabei ist die Konstruktion von Quantenfehler-Korrekturcodes, deren Repräsentationen innerhalb eines Gitters sitzen, dessen Automorphismus-Gruppe eine sporadische Gruppe ist. Auf diese Weise hat Moonshine eine gewisse Anwendung außerhalb der Stringtheorie. Es gab viele bedeutende Mathematiker, die dachten, dass sporadische Gruppen nicht so interessant seien und dass es schwierigere Probleme gäbe, und gleichzeitig andere, die an endlichen einfachen Gruppen arbeiteten, die glaubten, dass es sich um ein wesentliches Problem ohne Anwendungen oder Erkenntnisse handelte Physik. Beide Gruppen von Mathematikern haben/waren bis zu einem gewissen Grad richtig und falsch.