Wie werden funktionale Determinanten von Laplace-Operatoren in der Physik verwendet?

Deine Frage scheint zweigeteilt zu sein. Erstens scheint die Verwendung von funktionalen Determinanten zur (formellen) Darstellung des Ergebnisses eines Pfadintegrals neu für Sie zu sein. Ist das so? Wenn ja, dann würde ich vorschlagen, zuerst über diese Idee zu lesen. Es ist umfassender als die Zeta-Regularisierung. Sobald Sie damit zufrieden sind, würde ich vorschlagen, über den zweiten Teil Ihrer Frage nachzudenken, nämlich wie die Zeta-Regularisierung verwendet wird. Es fällt unter den allgemeinen Oberbegriff der mathematischen Regularisierung formaler, divergenter Größen in der QFT (anders als beispielsweise Pauli-Villars, dimensionale Regularisierung, harte Impulsgrenzen und andere physikalisch motivierte Regularisierungsschemata). Es ist eng mit der Verwendung von Wärmekerntechniken in der QFT verbunden. Ich kenne ein ganzes Buch zu diesem Thema bei Amazon, und es gibt viele Artikel darüber auf dem arXiv. Die Tatsache, dass keine Änderungen an der Raumzeit vorgenommen werden müssen, macht es sehr nützlich für Anwendungen, die Raumzeit mit Grenzen oder endlicher Ausdehnung betreffen, z. B. den Casimir-Effekt oder Strings.

Bearbeiten: Ich habe jetzt etwas Zeit, um dieses Ergebnis zu erweitern.

Du weißt, dass

$$\int_{R} dx\,\exp(-\tfrac{1}{2}a x^2) = \sqrt{2\pi/a}\,.$$ Es ist einfach, dieses Ergebnis zu erweitern $$\int_{R^n} d^nv\,\exp(-\tfrac{1}{2}v^i M_{ij} v^j) = (2\pi)^{n/2}/\sqrt{\det M}\,,$$ Wo $M$ist ein invertierbar $n\times n$Matrix. Wir können dieses Ergebnis formal auf den unendlichdimensionalen Fall erweitern. Betrachten Sie die Aktion $$S[\varphi] = \tfrac{1}{2}\int dx\,\partial\varphi(x) \cdot \partial\varphi(x) = -\tfrac{1}{2} \int dx\,dy\,\varphi(y) \delta(x-y)\partial_x^2 \varphi(x)$$ im Wegintegral $$\int [d\varphi] \exp(-S[\varphi] )\,.$$ Denn formal besteht eine Analogie zwischen den Vektoren $v^i$Und $\phi(x)$und zwischen den Betreibern $M_{ij}$Und $-\delta(x-y)\partial_x^2$, das können wir vermuten $$\int [d\varphi] \exp(-S[\varphi]) = \frac{A}{\det[-\delta(x-y)\partial_x^2]^{1/2}}\,,$$ wo wir jetzt eine funktionale Determinante haben. Der Zähler $A$stellt eine divergierende Größe dar und die funktionale Determinante ist auch ohne Regularisierung divergent. Wir können es uns als unendliches Produkt von Eigenwerten vorstellen. $$\det [-\partial^2] = \prod_{i=1}^\infty \lambda_i\,,$$ wo wir die fallen lassen $\delta(x-y)$weil wir wissen, dass dieser Operator ``diagonal'' (dh lokal) ist. Dann konstruieren Sie die $\zeta$Funktion, die dem Operator zugeordnet ist $\mathcal{O}$dessen Determinante wir berechnen. $$\zeta_{\,\mathcal{O}}(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_i^s}\,,$$ wo wir brauchen $\lambda_i > 0$für alle $i$Und ${\rm Re}\,s > 0$. Letztere Einschränkung kann durch analytische Fortsetzung gelockert werden. Aber dann $$\zeta_{\,\mathcal{O}}^\prime(s) = -\sum_{i=1}^\infty \frac{\ln \lambda_i}{\lambda_i^s}$$ damit wir durch analytische Fortsetzung berechnen können $\zeta_{\,\mathcal{O}}^\prime(0) = - {\rm tr}\, \ln \mathcal{O} = -\ln \det \mathcal{O}$. Für den Fall von zwei unendlich parallelen Platten in 3-dim. Raum, sehen wir, dass die Wellenzahl in der Richtung zwischen den Platten quantisiert ist, aber kontinuierlich in den anderen beiden Richtungen. Dies führt zu einem interessanten Spektrum für den Laplace-Operator. Um zu sehen, wie die Zeta-Regularisierung bei der Berechnung ihrer funktionalen Determinante verwendet wird, schauen Sie hier .

bilden die Formel von Shothotsky$(x+i\epsilon)^{-1}=-i\pi \delta (x) +P(1/x)$

Dann$-\frac{1}{\pi}Imlogdet(\Delta +i\epsilon-E)= \sum_{n}H(E-E_{n})$

logdet kann also verwendet werden, um die Eigenwerttreppe für den Laplace-Operator zu erhalten.