Regularisierung des 1-dimensionalen Laplace-Operators

Haftungsausschluss: Dies ist eine technische Frage zur Regularisierung funktionaler Determinanten, die von einer Person mit (relativ) starkem Hintergrund in QFT, Stringtheorie und Pfadintegralen kommt, die dieses Thema noch besser verstehen möchte.

Die meisten meiner Fragen zu diesem Thema blieben unbeantwortet. Ich bleibe aber Optimist :)

Ich versuche, der Ableitung aus dem Buch von Polyakov mit dem Titel "Gauge fields and strings" zu folgen. Er leitet den relativistischen Klein-Gordon-Propagator in der euklidischen Theorie der ersten Quantisierung ab, die durch das Polyakov-Pfadintegral überspannt wird.

Das funktionale Integral wird über die intrinsischen Geometrien (der Quotientenraum aller Weltlinienmetriken) übernommen$h(\tau)$über Diffeomorphismen$f(\tau)$; das Maß auf dem Quotientenraum wird bezeichnet$Dh/Df$) und über die Einbettungen der Weltlinie in die euklidische Zielraumzeit (die durch Einbettungsfunktionen codiert sind$X^{\mu}(\tau)$). Der Propagator rendert

$$\tilde{G}(p) = \int \frac{Dh}{Df} \int DX \exp\left\{ -\frac{1}{2} \intop_{0}^{1} d\tau \sqrt{h(\tau)} \left[ h^{-1} \dot{X}^2(\tau)-\mu^2 \right] \right\}\cdot e^{ i\, p_{\mu} \,\cdot\, (X(1) - X(0))^{\mu} } = \frac{Z_R}{p^2 + \mu_R^2}.$$

Im ersten Teil der Herleitung erhält man das Quotientenraummaß

$$\int \frac{Dh}{Df} = \int \frac{dT}{\sqrt{T}} \cdot \sqrt{\det{\Delta}},$$

Wo

$$T[h] = \intop_0^1 d\tau \sqrt{h(\tau)}$$

ist die Länge der Weltlinie (die einzige Invariante der 1-dimensionalen Riemannschen Geometrie) und der 1-dimensionale Laplace wirkt auf Funktionen$\omega: [0, T] \rightarrow [0, T]$als

$$\left( \Delta \omega \right) (t) = - \frac{d^2 \omega(t)}{dt^2}.$$

Dieses Teil habe ich erfolgreich reproduziert.

Der zweite Teil ist die zu nehmen$DX$Gaußsches Pfadintegral:

$$\int DX \dots = \frac{(2\pi N) ^{ND/2}}{(T)^{ND/2}} \cdot \exp \left\{ \frac{T}{2} \left( p^2 + \mu^2 \right) \right\},$$

Wo$N$ist eine Anzahl von Schritten in der Diskretisierung ($N = T / \Delta t$) Und$D$ist die Dimensionalität der Raumzeit. Auch diesen Teil habe ich nachgebaut.

Der letzte Teil wäre, das (numerische, 1-dimensionale) Integral zu nehmen

$$\tilde{G} (p) = \int \frac{dT}{\sqrt{T}} \cdot \sqrt{\det \Delta} \cdot \frac{(2\pi N) ^{ND/2}}{(T)^{ND/2}} \cdot \exp \left\{ \frac{T}{2} \left( p^2 + \mu^2 \right) \right\}.$$

Seit$\det \Delta$divergiert, müssen wir es regularisieren.

Ich habe versucht, das Produkt der Eigenwerte von zu schreiben$\Delta$mit Abbruch$\epsilon = N^{-1}$:

$$\det \Delta = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\pi n}{T} \right)^2 = \lim_{N \rightarrow \infty} \pi^n T^{-N} \cdot \Gamma(N+1) = \pi ^{\frac{1}{\epsilon }} T^{-1/\epsilon } \exp \left(\frac{-\log (\epsilon )-1}{\epsilon }+\frac{1}{2} \log \left(\frac{2 \pi }{\epsilon }\right)+O\left(\epsilon ^1\right)\right) = u(\epsilon) \cdot \exp \left\{\epsilon ^{-1} \log T \right\}$$

Wo$u(\epsilon)$ist etwas$T$-unabhängiger Divergenzfaktor. Das Problem bei diesem Ausdruck ist, dass er einen falschen Propagator ergibt.

Polyakov verwendet stattdessen einen Regularizer, den ich nicht verstehe:

$$\log \det \Delta = - \intop_{\epsilon^2}^{\infty} \frac{d\tau}{\tau} \sum_n e^{-\tau \lambda_n},$$

Wo$\lambda_n = (\pi n / T)^2$Eigenwerte ungleich Null sind$\Delta$. Diese Regularisierung ergibt eine korrekte Form von$\tilde{G}(p)$(mit dem Gesamtnormalisierungsfaktor$Z$und die Masse$\mu$renormalisiert), was ich nach meinem jetzigen Kenntnisstand für ein Wunder halte.

Ich habe über diese Frage nachgedacht, und die vielversprechendste Erklärung für das Scheitern meiner Regularisierung und den Erfolg von Polyakovs Regularisierung (abgesehen von der Tatsache, dass er natürlich so viel klüger ist als ich) ist, dass ich möglicherweise anders verwende$\epsilon = N^{-1}$in den Regularisierungen der Determinante und der$DX$Pfadintegral, was mir ein falsches Gesamtergebnis liefern würde.

Folgende zwei Fragen habe ich:

1. Ist es richtig anzunehmen, dass dort das Problem liegt?

2. Selbst wenn dies der Fall ist, verstehe ich immer noch nicht, wie ich zeigen soll, dass seine Regularisierung die korrekte Definition von verwendet$N$(was mit der Anzahl der verwendeten Slices übereinstimmt$DX$Integration) und meiner nicht.